(Bulgária-96) O quadrilátero ABCD está inscrito em uma circunferência com raio 1, uma circunferência pode ser inscrita em ABCD e sabese que A B=A D. Prove que:
a) a área do quadrilátero ABCD não excede 2 ;

Passo 1

O enunciado trata de um quadrilátero ABCD que é simultaneamente cíclico (inscrito em circunferência de raio 1) e tangencial (existe incírculo em ABCD), com a condição adicional de que \,AB = AD. Queremos mostrar que a área de ABCD satisfaz
\text{Área}(ABCD)\;\le\;2.Á
Para isso vamos usar:
  1. O teorema de Pitot em quadriláteros tangenciais (soma de lados opostos iguais).
  2. A fórmula de Brahmagupta para área de quadrilátero cíclico.
  3. A relação lado–ângulo em circunferência de raio 1 (lei dos senos).

Passo 2

Em todo quadrilátero tangencial vale o teorema de Pitot:
AB + CD \;=\; BC + DA.
Como foi dado \,AB=AD, segue
AB + CD = BC + AB \quad\Longrightarrow\quad CD = BC.
Logo os lados vêm aos pares iguais:
AB = AD \quad\text{e}\quad BC = CD.

Passo 3

Sejam a=AB, b=BC, c=CD, d=DA. Como o quadrilátero é cíclico, a área pode ser calculada por Brahmagupta:
p = \frac{a+b+c+d}{2}, \qquad K = \sqrt{(p - a)\,(p - b)\,(p - c)\,(p - d)}.

Passo 4

Da tangencialidade temos a + c = b + d. Mas
p = \frac{a+b+c+d}{2} \quad\Longrightarrow\quad 2p = a+b+c+d \quad\Longrightarrow\quad a + c = b + d = p.
Logo
p - a = c,\quad p - b = d,\quad p - c = a,\quad p - d = b.
Substituindo em Brahmagupta:
K = \sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)} = \sqrt{c \,\cdot d \,\cdot a \,\cdot b} = \sqrt{\,a b c d\,}.

Passo 5

Como o quadrilátero é cíclico em circunferência de raio 1, cada lado é um corda: se a ângulo oposto a a é \alpha, então
a = 2\sin(\alpha), \quad b = 2\sin(\beta), \quad c = 2\sin(\gamma), \quad d = 2\sin(\delta),
com \alpha+\beta+\gamma+\delta = 2\pi.

Passo 6

Para quadrilátero cíclico vale \alpha+\gamma=\pi e \beta+\delta=\pi. Daí
\sin(\gamma)=\sin(\pi-\alpha)=\sin(\alpha), \quad \sin(\delta)=\sin(\pi-\beta)=\sin(\beta).
Assim
abcd = (2\sin\alpha)(2\sin\beta)(2\sin\gamma)(2\sin\delta) = 16\,\sin\alpha\,\sin\beta\,\sin\alpha\,\sin\beta = 16\,(\sin\alpha\,\sin\beta)^2.
Portanto
K = \sqrt{abcd} = 4\,\sin\alpha\,\sin\beta.

Passo 7

Resta maximizar a função
f(\alpha,\beta) = \sin\alpha\,\sin\beta
sujeita a \alpha>0,\;\beta>0 e \alpha+\beta\le\pi. Pelo simétrico, o máximo ocorre quando \alpha=\beta. Então \alpha=\beta=\tfrac\pi4 e
K_{\max} = 4\;\sin\!\tfrac\pi4\;\sin\!\tfrac\pi4 = 4\;\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr)\;\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr) = 2.

Resposta

Portanto a área de ABCD satisfaz
\text{Área}(ABCD)\;\le\;2.Á

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