(Bulgária-96) O quadrilátero ABCD está inscrito em uma circunferência com raio 1, uma circunferência pode ser inscrita em ABCD e sabese que
. Prove que:
a) a área do quadrilátero ABCD não excede 2 ;
a) a área do quadrilátero ABCD não excede 2 ;
Passo 1
O enunciado trata de um quadrilátero
que é simultaneamente cíclico (inscrito em circunferência de raio
) e tangencial (existe incírculo em
), com a condição adicional de que
. Queremos mostrar que a área de
satisfaz
Para isso vamos usar:
- O teorema de Pitot em quadriláteros tangenciais (soma de lados opostos iguais).
- A fórmula de Brahmagupta para área de quadrilátero cíclico.
- A relação lado–ângulo em circunferência de raio 1 (lei dos senos).
Passo 2
Em todo quadrilátero tangencial vale o teorema de Pitot:
Como foi dado
, segue
Logo os lados vêm aos pares iguais:
Passo 3
Sejam
,
,
,
. Como o quadrilátero é cíclico, a área pode ser calculada por Brahmagupta:
Passo 4
Da tangencialidade temos
. Mas
Logo
Substituindo em Brahmagupta:
Passo 5
Como o quadrilátero é cíclico em circunferência de raio
, cada lado é um corda: se a ângulo oposto a
é
, então
com
.
Passo 6
Para quadrilátero cíclico vale
e
. Daí
Assim
Portanto
Passo 7
Resta maximizar a função
sujeita a
e
. Pelo simétrico, o máximo ocorre quando
. Então
e
Resposta
Portanto a área de
satisfaz