Em um quadrilátero convexo ABCD as diagonais concorrem em E. Se as áreas das regiões
, DEA e AEB são a, b, c e d respectivamente, prove que a.c = b.d.
Passo 1
O enunciado dá um quadrilátero convexo
cujas diagonais
e
se cruzam em
. As áreas dos quatro triângulos formados em torno de
são:
,
,
e
.
Queremos provar que
Queremos provar que
Passo 2
Observe os triângulos
e
. Ambos têm a mesma altura relativa ao vértice
sobre a reta
. Logo, quando a altura é igual, a razão das áreas é a razão dos comprimentos das bases sobre
. Assim,
Portanto
Passo 3
Agora observe os triângulos
e
. Ambos têm a mesma altura relativa ao vértice
sobre a reta
. Pelas mesmas razões de base e altura,
Logo
Passo 4
Das duas expressões para
temos
Multiplicando cruzado,
ou seja