Em um quadrilátero convexo ABCD as diagonais concorrem em E. Se as áreas das regiões \mathrm{BEC}, \mathrm{CED}, DEA e AEB são a, b, c e d respectivamente, prove que a.c = b.d.

Passo 1

O enunciado dá um quadrilátero convexo ABCD cujas diagonais AC e BD se cruzam em E. As áreas dos quatro triângulos formados em torno de E são:
\mathrm{area}(BEC)=a, \mathrm{area}(CED)=b, \mathrm{area}(DEA)=c e \mathrm{area}(AEB)=d.
Queremos provar que
a\cdot c \;=\; b\cdot d.

Passo 2

Observe os triângulos BEC e AEB. Ambos têm a mesma altura relativa ao vértice B sobre a reta AC. Logo, quando a altura é igual, a razão das áreas é a razão dos comprimentos das bases sobre AC. Assim,
\frac{[AEB]}{[BEC]} =\frac{d}{a} =\frac{EA}{EC}.
Portanto
\frac{EA}{EC} = \frac{d}{a}.

Passo 3

Agora observe os triângulos AED e CED. Ambos têm a mesma altura relativa ao vértice D sobre a reta AC. Pelas mesmas razões de base e altura,
\frac{[AED]}{[CED]} =\frac{c}{b} =\frac{EA}{EC}.
Logo
\frac{EA}{EC} = \frac{c}{b}.

Passo 4

Das duas expressões para \tfrac{EA}{EC} temos
\frac{d}{a} \;=\;\frac{EA}{EC}\;=\;\frac{c}{b}.
Multiplicando cruzado,
d\cdot b = a\cdot c,
ou seja
a\cdot c = b\cdot d.

Resposta

a\cdot c = b\cdot d.

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