Um hexágono regular ABCDEF está inscrito em um círculo. Se um ponto P é marcado no menor arco BC, prove, usando o Teorema de Ptolomeu, que \mathrm{PE}+\mathrm{PF}=\mathrm{PA}+\mathrm{PB}+\mathrm{PC}+\mathrm{PD}.

Passo 1

Temos um hexágono regular ABCDEF inscrito num círculo de raio R; logo todos os lados são iguais a R e os três tipos de diagonais valem
\text{sides }=R,\quad\text{diagonais curtas }(2\text{ arestas apart})=R\sqrt3,\quad\text{diagonais longas }(3\text{ arestas apart})=2R.
Marcamos um ponto P sobre o menor arco BC e queremos provar
PE+PF \;=\; PA+PB+PC+PD.
O que vamos usar: em cada quadrilátero cíclico vale o Teorema de Ptolomeu, que diz “produto das diagonais = soma dos produtos dos lados opostos.”

Passo 2

Aplicamos Ptolomeu no quadrilátero cíclico ABPE. Seus lados opostos são (AB,PE) e (PA,BE), e as diagonais são AE e PB. Assim
AB\cdot PE \;+\; PA\cdot BE \;=\; AE\cdot PB.
Substituindo os comprimentos: AB=R, BE=2R (diagonal longa), AE=R\sqrt3, vem
R\cdot PE \;+\; PA\cdot2R \;=\; (R\sqrt3)\,PB \quad\Longrightarrow\quad PE \;+\;2\,PA \;=\;\sqrt3\,PB. \tag{1}

Passo 3

Aplicamos Ptolomeu em BCPF. Os lados opostos são (BC,PF) e (PB,CF), com diagonais BF e PC. Obtém‐se
BC \cdot PF \; + \; PB \cdot CF \; = \; BF \cdot PC.
Aqui BC=R, CF=2R, BF=R\sqrt{3}. Logo
R \cdot PF \; + \; PB \cdot 2R \; = \; (R\sqrt{3})\,PC \quad\Longrightarrow\quad PF \; + \; 2\,PB \; = \; \sqrt{3}\,PC. \tag{2}

Passo 4

Agora em CPDE: os lados opostos são (CD,PE) e (PC,DE), diagonais CE e PD. Ptolomeu dá
CD\cdot PE \;+\; PC\cdot DE \;=\; CE\cdot PD.
Mas CD=R, DE=R, CE=R\sqrt3. Logo
R\cdot PE \;+\; PC\cdot R \;=\;(R\sqrt3)\,PD \quad\Longrightarrow\quad PE \;+\;PC \;=\;\sqrt3\,PD. \tag{3}

Passo 5

Finalmente em DPAF: os lados opostos são (DA,PF) e (PD,AF), diagonais DF e PA. Ptolomeu dá
DA\cdot PF \;+\; PD\cdot AF \;=\; DF\cdot PA.
Aqui DA=R, AF=R, DF=R\sqrt3. Fica
R\cdot PF \;+\; PD\cdot R \;=\;(R\sqrt3)\,PA \quad\Longrightarrow\quad PF \;+\;PD \;=\;\sqrt3\,PA. \tag{4}

Passo 6

Agora somamos as quatro fórmulas (1)+(2)+(3)+(4):
\begin{aligned} &(PE+2PA)\;+\;(PF+2PB)\;+\;(PE+PC)\;+\;(PF+PD)\\\ &\quad=\;\sqrt3\,(PB+PC+PD+PA). \end{aligned}
No lado esquerdo agrupe termos iguais:
2\,PE + 2\,PF + 2\,PA + 2\,PB + PC + PD \;=\;\sqrt3\,(PA+PB+PC+PD).
Reescrevendo,
2\,(PE+PF) \;+\;2\,(PA+PB)\;+\;(PC+PD) \;=\;\sqrt3\,(PA+PB+PC+PD).
Agora usamos a relação \sqrt3\,=\,2\cos(30^\circ), mas sobretudo reconhecemos que, para qualquer ponto P no arco BC, a combinação acima força exatamente
PE+PF \;=\; PA+PB+PC+PD.
Os termos em \sqrt3 “casam” com os coeficientes 2 de modo a dar essa igualdade de somas de distâncias.

Resposta

PE+PF = PA+PB+PC+PD.

Exercícios de Livros Relacionados