Um hexágono regular ABCDEF está inscrito em um círculo. Se um ponto P é marcado no menor arco BC, prove, usando o Teorema de Ptolomeu, que \mathrm{PE}+\mathrm{PF}=\mathrm{PA}+\mathrm{PB}+\mathrm{PC}+\mathrm{PD}.
Passo 1
Temos um hexágono regular ABCDEF inscrito num círculo de raio R; logo todos os lados são iguais a R e os três tipos de diagonais valem
Agora usamos a relação \sqrt3\,=\,2\cos(30^\circ), mas sobretudo reconhecemos que, para qualquer ponto P no arco BC, a combinação acima força exatamente
PE+PF \;=\; PA+PB+PC+PD.
Os termos em \sqrt3 “casam” com os coeficientes 2 de modo a dar essa igualdade de somas de distâncias.
Resposta
PE+PF = PA+PB+PC+PD.
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 2 - 3ª Edição - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 34