Três lados de um quadrilátero convexo ABCD possuem comprimentos \mathrm{AB}=a, \mathrm{BC}=b e \mathrm{CD}=c. Se a área do quadrilátero é a maior possível, prove que o comprimento x do quarto lado satisfaz a equação \mathrm{x}^{3}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \mathrm{x}-2 a b c=0.

Passo 1

O problema dá um quadrilátero convexo ABCD com lados
\mathrm{AB}=a, \mathrm{BC}=b, \mathrm{CD}=c e \mathrm{DA}=x, e pede para mostrar que, se a área for máxima, então
x^3 - (a^2+b^2+c^2)\,x - 2abc \;=\;0.
Vamos usar que, para lados dados numa certa ordem, a área máxima ocorre quando o quadrilátero é cíclico (ou seja, \angle B+\angle D=\pi), depois aplicar Lei dos Cossenos e otimizar via derivada.

Passo 2

Se ABCD é cíclico, então \angle B+\angle D=\pi, o que implica \sin B=\sin D. Chamando de d=AC a diagonal, a área total é a soma das áreas dos triângulos ABC e ADC:
\mathcal{A} =\tfrac12\,ab\sin B\;+\;\tfrac12\,cx\sin D =\tfrac12\,(ab+cx)\,\sin B.

Passo 3

Aplicamos a Lei dos Cossenos em \triangle ABC e em \triangle ADC:
d^2 = a^2+b^2 - 2ab\cos B,
d^2 = c^2+x^2 - 2cx\cos D = c^2+x^2 +2cx\cos B
(supondo \cos D=\cos(\pi-B)=-\cos B). Igualando as duas expressões de d^2 e isolando \cos B
a^2+b^2 -2ab\cos B = c^2+x^2 +2cx\cos B \;\Longrightarrow\; \cos B = \frac{a^2+b^2 -c^2 -x^2}{2(ab+cx)}.

Passo 4

Então
\sin B = \sqrt{1-\cos^2 B} = \sqrt{1 - \Bigl(\tfrac{a^2+b^2-c^2-x^2}{2(ab+cx)}\Bigr)^2 }
e
\mathcal{A}(x) =\tfrac12\,(ab+cx)\,\sin B =\tfrac14\, \sqrt{(2(ab+cx))^2 \;-\;(a^2+b^2-c^2-x^2)^2}\,.
Para maximizar \mathcal{A} é equivalente maximizar
f(x)=\bigl[2(ab+cx)\bigr]^2 - \bigl(a^2+b^2-c^2-x^2\bigr)^2.

Passo 5

Calculamos f'(x) e igualamos a zero:
f'(x) =2\cdot2(ab+cx)\cdot c \;-\;2\bigl(a^2+b^2-c^2-x^2\bigr)\cdot(-2x) =8c(ab+cx)+4x(a^2+b^2-c^2-x^2)=0.
Dividindo por 4 e rearranjando:
2c(ab+cx)+x\bigl(a^2+b^2-c^2-x^2\bigr)=0 \;\Longrightarrow\; -x^3+(a^2+b^2+c^2)\,x+2abc=0,
ou seja
x^3 - (a^2+b^2+c^2)\,x - 2abc=0.

Resposta

x^3 - (a^2+b^2+c^2)\,x \;-\;2abc \;=\;0.

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