Três lados de um quadrilátero convexo ABCD possuem comprimentos
e
. Se a área do quadrilátero é a maior possível, prove que o comprimento
do quarto lado satisfaz a equação
.
Passo 1
O problema dá um quadrilátero convexo
com lados
,
,
e
, e pede para mostrar que, se a área for máxima, então
Vamos usar que, para lados dados numa certa ordem, a área máxima ocorre quando o quadrilátero é cíclico (ou seja,
), depois aplicar Lei dos Cossenos e otimizar via derivada.
Passo 2
Se
é cíclico, então
, o que implica
. Chamando de
a diagonal, a área total é a soma das áreas dos triângulos
e
:
Passo 3
Aplicamos a Lei dos Cossenos em
e em
:
(supondo
). Igualando as duas expressões de
e isolando
dá
Passo 4
Então
e
Para maximizar
é equivalente maximizar
Passo 5
Calculamos
e igualamos a zero:
Dividindo por 4 e rearranjando:
ou seja