Em cada uma das P.G. abaixo, calcule o produto dos n termos iniciais:
(a^1,-a^2, a^3,-a^4 ldots) e n=100

Passo 1

O enunciado pede o produto dos n primeiros termos da sequência
l(a^1, -a^2, a^3, -a^4, dotsr)
para n=100. O conteúdo aqui é manipular progressão geométrica e produto de termos.

Passo 2

Primeiro, identificamos o termo geral tk. Observando o sinal alternante e a potência de a, temos
tk = (-1)^,k-1,a^k

Passo 3

Escrevemos o produto dos n primeiros termos como
Pn = prodk=1^n tk = prodk=1^nl[(-1)^,k-1,a^kr]
Usando a propriedade de produto de potências, separamos os fatores:
Pn = l(prodk=1^n(-1)^,k-1r);l(prodk=1^na^kr) = (-1)^sumk=1^n(k-1);a^sumk=1^nk

Passo 4

Calculamos as somas conhecidas de progressão aritmética:
sumk=1^n(k-1) = n(n-1)2, sumk=1^nk = n(n+1)2
Logo
Pn = (-1)^n(n-1)2;a^n(n+1)2

Passo 5

Substituindo n=100:
100cdot992 = 4950(par), 100cdot1012 = 5050
Como 4950 é par, temos (-1)^4950=1. Portanto
P100 = a^5050

Resposta

P100 = a^5050

Exercícios de Livros Relacionados