Calcule todos os ângulos x, em radianos, de modo que os números sen x2, sen x , tg x formem uma progressão geométrica.

Passo 1

O enunciado pede todos os xinR tais que os três números
sin x2, sin x, tan x
formem uma progressão geométrica.
Conteúdo: sabemos que três termos a,b,c estão em progressão geométrica se e somente se
b^2 = a,c

Passo 2

Aplicando a condição de progressão geométrica aos termos
a = sin x2, b = sin x, c = tan x,
temos
(sin x)^2 = sin x2,tan x

Passo 3

Usamos tan x = sin xcos x para reescrever o lado direito:
sin x2,tan x = sin x2,sin xcos x = sin^2 x2cos x
Logo a equação fica
sin^2 x = sin^2 x2cos x

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por 2cos x (lembrando que isso exige cos xneq0) e obtém-se
2sin^2 xcos x = sin^2 x Longrightarrow sin^2 x,(2cos x -1)=0

Passo 5

Dessa fatoração surgem duas possibilidades:
  1. sin^2 x = 0, isto é sin x = 0.
  2. 2cos x -1 = 0, isto é cos x = tfrac12.

Passo 6

Resolvendo cada caso:
  1. sin x = 0 Longrightarrow x = kpi, kinZ
  2. cos x = tfrac12 Longrightarrow x = 2kpi pm pi3, kinZ

Passo 7

Verificação de definição de tan x: em x=kpi temos cos x = pm1neq0, logo tan x está bem definido. Em cos x=tfrac12 também não há problema de divisão por zero.

Resposta

As soluções são
x = kpi ou x = 2kpi pm pi3, kinZ

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