Que tipo de progressão constitui a sequência:
sen x, sen(x+pi), sen(x+2 pi), ldots, sen(x+n pi) com sen x neq 0 ?

Passo 1

O enunciado dá a sequência
sin x,;sin(x+pi),;sin(x+2pi),;dots,;sin(x+npi)
com sin xneq0, e pergunta que tipo de progressão isso forma. Vamos usar definição de progressão aritmética (diferença constante) e geométrica (razão constante).

Passo 2

Identificamos o termo geral da sequência. Para k=0,1,2,dots,n,
ak = sinl(x + kpir)
Usando a identidade sin(x+kpi)=(-1)^ksin x, obtemos
ak = (-1)^k,sin x

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
ak+1ak = (-1)^,k+1sin x(-1)^ksin x = -1,
que é constante para todo k. Em contraste, a diferença
ak+1-ak = (-1)^k+1sin x - (-1)^ksin x = -2(-1)^ksin x
não é constante (varia com k), logo não é aritmética.

Passo 4

Como a razão entre termos consecutivos é sempre -1, trata-se de uma progressão geométrica de razão r=-1.

Resposta

A sequência é uma progressão geométrica de razão -1.

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