Calcule a soma dos termos das seguintes sequências:
Qual o erro cometido quando, em vez de somar os 1000 elementos iniciais, calcula-se a soma dos infinitos elementos da P.G. abaixo?
Qual o erro cometido quando, em vez de somar os 1000 elementos iniciais, calcula-se a soma dos infinitos elementos da P.G. abaixo?
Passo 1
O enunciado apresenta a progressão geométrica de primeiro termo
e razão
. Queremos somar os primeiros
termos, mas em vez disso alguém usou a fórmula da soma ao infinito. Para resolver, vamos usar:
– Soma parcial de uma P.G. de termos:
– Soma parcial de uma P.G. de
– Soma ao infinito (válida apenas se
):
Passo 2
Aplicamos a fórmula da soma dos primeiros
termos:
Passo 3
A soma ao infinito dessa mesma P.G. seria
Quem calculou
em vez de
obteve
.
Passo 4
O erro está em usar a fórmula da soma infinita quando se quer somar apenas
termos. Isso faz com que se despreze o “resto”
que, embora muito pequeno, não é zero.
Resposta
O erro foi aplicar a fórmula da soma ao infinito em vez da soma parcial, desprezando o termo residual
.