Calcule a soma dos termos das seguintes sequências:
Qual o erro cometido quando, em vez de somar os 1000 elementos iniciais, calcula-se a soma dos infinitos elementos da P.G. abaixo?
(1, 13, 19, 127, ldots)

Passo 1

O enunciado apresenta a progressão geométrica de primeiro termo a=1 e razão r=tfrac13. Queremos somar os primeiros 1000 termos, mas em vez disso alguém usou a fórmula da soma ao infinito. Para resolver, vamos usar:
– Soma parcial de uma P.G. de n termos:
Sn = a,1 - r^n1 - r
– Soma ao infinito (válida apenas se lvert rrvert<1):
Sinfty = a1 - r

Passo 2

Aplicamos a fórmula da soma dos primeiros 1000 termos:
S1000 = 1;1 - l(tfrac13r)^10001 - tfrac13 = 1 - (1/3)^10002/3 = 32,l(1 - (1/3)^1000r)

Passo 3

A soma ao infinito dessa mesma P.G. seria
Sinfty = 11 - tfrac13 = 32
Quem calculou Sinfty em vez de S1000 obteve tfrac32.

Passo 4

O erro está em usar a fórmula da soma infinita quando se quer somar apenas 1000 termos. Isso faz com que se despreze o “resto”
R1000 = Sinfty - S1000 = 32,(1/3)^1000,
que, embora muito pequeno, não é zero.

Resposta

O erro foi aplicar a fórmula da soma ao infinito em vez da soma parcial, desprezando o termo residual tfrac32(1/3)^1000.

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