Ex. 8.11 - Em cada caso abaixo, determine m in N^* de modo que
1n^2-n+1<12, para todo n >= m.

Passo 1

O enunciado pede para achar um valor minN^* tal que
1n^2-n+1<12
para todo n>= m.
O conteúdo aqui é resolver uma inequação envolvendo n inteiro, aproveitando que o denominador é sempre positivo para ninN^*.

Passo 2

Como n^2-n+1>0 para todo n, podemos inverter a desigualdade sem mudar o sentido:
1n^2-n+1<12 Long<=ftrightarrow n^2-n+1>2

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão, temos a inequação quadrática
n^2-n-1>0
As raízes da equação n^2-n-1=0 são
n = 1pmraiz1+42 = 1pmraiz52,
isto é, aproximadamente -0,618 e 1,618. A parábola abre para cima, logo a região em que n^2-n-1>0 é
n<1-raiz52ou n>1+raiz52

Passo 4

Como n é inteiro positivo, a condição n>tfrac1+raiz52approx1,618 passa a ser
n>=2
Portanto, o menor m em N^* que garante a desigualdade é m=2.

Resposta

m=2

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