Ex. 8.21 - Prove que as seguintes sequências divergem:
d) n^3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência ,an = n^3 diverge, isto é, que seus termos crescem sem limite à medida que n vai a infinito. Vamos usar a definição de divergência para +infty e manipular raízes.

Passo 2

Lembrando a definição: dizemos que (an) diverge para +infty se, para todo M>0, existe NinN tal que, sempre que n>= N, vale
an > M

Passo 3

Aplicando a essa sequência, temos an = n^3. Dado um M>0, queremos
n^3 > M
Para resolver essa desigualdade, extraímos a raiz cúbica de ambos os lados, obtendo
n > raiz[3]M

Passo 4

Como raiz[3]M é um número real, basta escolher um inteiro N maior que ele. Por exemplo,
N = lfloor raiz[3]Mrfloor + 1
Então, para todo n>= N temos n>raiz[3]M e, em consequência, n^3>M.

Passo 5

Concluímos que, dado qualquer M>0, existe N (construído acima) tal que, para todo n>= N, an = n^3 > M. Portanto
limntoinfty n^3 = +infty
e a sequência diverge.

Resposta

A sequência ,n^3 diverge para +infty.

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