Ex. 8.21 - Prove que as seguintes sequências divergem:
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a sequência
diverge, isto é, que seus termos crescem sem limite à medida que
vai a infinito. Vamos usar a definição de divergência para
e manipular raízes.
Passo 2
Lembrando a definição: dizemos que
diverge para
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
, vale
Passo 3
Aplicando a essa sequência, temos
. Dado um
, queremos
Para resolver essa desigualdade, extraímos a raiz cúbica de ambos os lados, obtendo
Passo 4
Como
é um número real, basta escolher um inteiro
maior que ele. Por exemplo,
Então, para todo
temos
e, em consequência,
.
Passo 5
Concluímos que, dado qualquer
, existe
(construído acima) tal que, para todo
,
. Portanto
e a sequência diverge.
Resposta
A sequência
diverge para
.