Ex. 8.12 - Dado epsilon>0 arbitrário, determine, em cada caso, m in N^* tal que an in ( L-epsilon, L+epsilon ) para todo n >= m, onde:
an=1n e L=0

Passo 1

O enunciado pede que, dada uma sequência an=tfrac1n e o limite L=0, mostremos que para todo epsilon>0 existe minN^* tal que
an in (L-epsilon,,L+epsilon)para todo n>= m
Aqui usamos a definição de limite de sequência: precisamos que lvert an - Lrvert<epsilon sempre que n>= m.

Passo 2

Escrevendo a condição de perturbação em torno de L=0, temos
anin(-epsilon,epsilon) Long<=ftrightarrow |an - 0|<epsilon Long<=ftrightarrow 1n<epsilon

Passo 3

A desigualdade tfrac1n<epsilon é equivalente a
n>1epsilon

Passo 4

Para garantir que todo n>= m satisfaça n>1/epsilon, basta escolher
m = llfloor tfrac1epsilonrrfloor + 1
De fato, lfloor1/epsilonrfloor<1/epsilon, logo lfloor1/epsilonrfloor+1>1/epsilon, e assim todo n>= m satisfaz 1/n<epsilon.

Resposta

Para cada epsilon>0, escolha
m = llfloor tfrac1epsilonrrfloor + 1
Então, para todo n>= m, vale 1n<epsilon, ou seja anin(-epsilon,epsilon).

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