Ex. 8.12 - Dado epsilon>0 arbitrário, determine, em cada caso, m in N^* tal que an in ( L-epsilon, L+epsilon ) para todo n >= m, onde:
an=12+raizn+1n e L=1 / 3

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an=12+raiztfracn+1n
e o limite conjecturado
L=13
Precisamos encontrar, para dado varepsilon>0, um índice minN^* tal que
|an-L|<varepsilonsempre que n>= m
O conteúdo é o conceito de limite de sequência e usaremos a definição |an-L|<varepsilon.

Passo 2

Calculemos a diferença
|an-L| =|12+raiztfracn+1n-13| =l|3-(2+raiztfracn+1n)r|3,(2+raiztfracn+1n) =raiztfracn+1n-13,(2+raiztfracn+1n)

Passo 3

Para majorar esse quociente, note que
raiztfracn+1n-1 =1nl(raiztfracn+1n+1r) <=12n,
pois raiztfracn+1n>1, e que
3,(2+raiztfracn+1n)>=3,(2+1)=9
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|an-L|<=1/(2n)9=118,n

Passo 4

Para garantir |an-L|<varepsilon basta ter
118,n<varepsilon Long<=ftrightarrow n>118,varepsilon
Assim, escolhendo
m=lceil118,varepsilonrceil,
asseguramos que, para todo n>= m, vale |an-L|<varepsilon.

Resposta

Pode-se tomar
m = lceil 118,varepsilonrceil,
pois assim todo n>= m satisfaz |an-L|<varepsilon.

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