Em cada caso a seguir, escreva na forma expandida uma função polinomial que tenha o grau e os zeros indicados.
Grau 4, com zeros x=-3, x=-2, x=0 e x=5.

Passo 1

Temos que encontrar um polinômio de grau 4, monico (coeficiente líder igual a 1) e cujo conjunto de zeros seja -3,-2,0,5. Para isso, basta montar o produto das raízes em fatores lineares e depois expandir.

Passo 2

Como é monico, escolhemos o fator k=1. Então a forma fatorada é
P(x) = (x - (-3))(x - (-2))(x - 0)(x - 5)
ou seja
P(x) = (x + 3)(x + 2),x,(x - 5)

Passo 3

Calculamos primeiro
(x + 3)(x + 2) = x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6

Passo 4

Em seguida,
x,(x - 5) = x^2 - 5x

Passo 5

Agora multiplicamos as duas quadráticas:
(x^2 + 5x + 6)(x^2 - 5x)
Fazendo a expansão termo a termo:
x^2cdot x^2 &= x^4, x^2cdot(-5x) &= -5x^3, 5xcdot x^2 &= 5x^3, 5xcdot(-5x) &= -25x^2, 6cdot x^2 &= 6x^2, 6cdot(-5x) &= -30x
Somando os resultados:
x^4 + (-5x^3+5x^3) + (-25x^2+6x^2) + (-30x) = x^4 -19x^2 -30x

Resposta

O polinômio procurado, na forma expandida, é
P(x) = x^4 - 19x^2 - 30x

Exercícios de Livros Relacionados