Sabendo que x=3 é um zero da função f(x)=2 x^4+10 x^3-16 x^2-96 x,
a) determine todos os zeros de f;
b) escreva f(x) na forma fatorada;
c) resolva a inequação f(x) <= 0.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=2x^4+10x^3-16x^2-96x
e informa que x=3 é uma raiz. Precisamos:
a) encontrar todas as raízes de f;
b) escrever f(x) na forma fatorada;
c) resolver a inequação f(x)<= 0.
Vamos usar o Teorema do Resto (divisão polinomial/sintética) e depois análise de sinais.

Passo 2

Observe que x=0 também é raiz (pois o termo constante é zero). Logo podemos colocar
f(x)=xl(2x^3+10x^2-16x-96r)
Definimos
g(x)=2x^3+10x^2-16x-96
e vamos fatorar g(x) usando a raiz conhecida x=3.

Passo 3

Aplicando divisão sintética de g(x) por x-3:
coeficientes de g: 2,;10,;-16,;-96
r|rrrr 3 & 2 & 10 & -16 & -96hline & & 6 & 16 & 96 & 2 & 16 & 0 & 0
O resto é zero e o quociente é 2x^2+16x+0? Na verdade, os resultados na linha de baixo indicam o polinômio
2x^2+16x+32?
Mas note que nós somamos -16+48 = 32, e depois -96+96=0. Portanto o quociente é
2x^2+16x+32

Passo 4

Assim
g(x)=(x-3)l(2x^2+16x+32r) =2(x-3)l(x^2+8x+16r) =2(x-3)(x+4)^2
Logo toda a fatoração de f é
boxedf(x)=2x,(x-3),(x+4)^2

Passo 5

As raízes são os valores que anulam cada fator:
x=0, x=3, x=-4
sendo x=-4 raiz dupla.

Passo 6

Para resolver f(x)<= 0, note que (x+4)^2>= 0 sempre, e só zera em x=-4. O sinal de f vem de
2x,(x-3)
Fazendo o quadro de sinais nos pontos críticos -4,0,3 conclui-se que f(x) é
  • positivo em (-infty,-4) e em ( -4,0) e em (3,infty),
  • negativo em (0,3),
  • zero em x=-4,0,3.
    Logo a solução de f(x)<=0 é
-4;cup;[0,3]

Resposta

a) As raízes são
0, 3, -4(dupla)
b)
f(x)=2x,(x-3),(x+4)^2
c)
,xmid f(x)<=0=-4cup[0,3]

Exercícios de Livros Relacionados