Em cada caso a seguir, escreva na forma expandida uma função polinomial que tenha o grau e os zeros indicados.
Grau 4, com zeros x=-5, x=-4, x=-1 e x=3.

Passo 1

O enunciado pede uma função polinomial de grau 4 que se anule exatamente em -5, -4, -1 e 3. Para isso usamos o fato de que, escolhendo o coeficiente líder igual a 1 (o mais simples), podemos escrever
f(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4)
onde x1,x2,x3,x4 são as raízes dadas.

Passo 2

Aplicando diretamente as raízes -5,-4,-1,3, obtemos
f(x) = (x - (-5)),(x - (-4)),(x - (-1)),(x - 3) = (x+5)(x+4)(x+1)(x-3)

Passo 3

Para facilitar a expansão, primeiro multiplico em pares:
(x+5)(x+4) = x^2 + 9x + 20,
(x+1)(x-3) = x^2 - 2x - 3

Passo 4

Agora multiplico os dois quadráticos obtidos:
(x^2 + 9x + 20)(x^2 - 2x - 3)
Expandindo:
&x^2cdot(x^2 - 2x - 3) = x^4 - 2x^3 - 3x^2, &9xcdot(x^2 - 2x - 3) = 9x^3 - 18x^2 - 27x, &20cdot(x^2 - 2x - 3) = 20x^2 - 40x - 60
Somando todos os termos semelhantes:
x^4 + ( -2x^3 + 9x^3 ) + ( -3x^2 -18x^2 +20x^2 ) + ( -27x -40x ) - 60 = x^4 + 7x^3 - x^2 - 67x - 60

Resposta

f(x) = x^4 + 7x^3 - x^2 - 67x - 60

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