Determine as raízes das equações a seguir. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações.
, sabendo que
e
são raízes.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as raízes do polinômio
sabendo que
e
são duas raízes. Vamos usar o Teorema do Resto (ou Teorema das Raízes) para dividir sucessivamente o polinômio por
e por
, obtendo um fator quadrático que resolveremos depois.
Passo 2
Aplicando divisão sintética em
pela raiz
, usamos os coeficientes
e obtemos o quociente
com resto zero. Logo
Passo 3
Agora dividimos
por
. Pela divisão sintética com raiz
e coeficientes
obtemos o quociente
e resto zero. Assim
Passo 4
Juntando os fatores já extraídos, temos
Fatorando
do último termo e absorvendo constantes nos dois fatores lineares, reescrevemos
e
de modo que
Passo 5
Para encontrar as raízes do fator
, usamos a fórmula quadrática:
Já as raízes dos fatores lineares são
e
.
Resposta
Fatoração completa:
As raízes são