Determine as raízes das equações a seguir. Escreva na forma fatorada os polinômios que aparecem no lado esquerdo das equações.
6 x^4+7 x^3+6 x^2-1=0, sabendo que x=13 e x=-12 são raízes.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as raízes do polinômio
6x^4+7x^3+6x^2-1=0
sabendo que x=tfrac13 e x=-tfrac12 são duas raízes. Vamos usar o Teorema do Resto (ou Teorema das Raízes) para dividir sucessivamente o polinômio por (x-tfrac13) e por (x+tfrac12), obtendo um fator quadrático que resolveremos depois.

Passo 2

Aplicando divisão sintética em
6x^4+7x^3+6x^2+0x-1
pela raiz x=tfrac13, usamos os coeficientes 6,;7,;6,;0,;-1 e obtemos o quociente
6x^3+9x^2+9x+3
com resto zero. Logo
6x^4+7x^3+6x^2-1 = l(x-tfrac13r),(6x^3+9x^2+9x+3)

Passo 3

Agora dividimos 6x^3+9x^2+9x+3 por (x+tfrac12). Pela divisão sintética com raiz x=-tfrac12 e coeficientes 6,;9,;9,;3 obtemos o quociente
6x^2+6x+6
e resto zero. Assim
6x^3+9x^2+9x+3 = l(x+tfrac12r),(6x^2+6x+6)

Passo 4

Juntando os fatores já extraídos, temos
6x^4+7x^3+6x^2-1 = l(x-tfrac13r),l(x+tfrac12r),(6x^2+6x+6)
Fatorando 6 do último termo e absorvendo constantes nos dois fatores lineares, reescrevemos
6x^2+6x+6 = 6,(x^2+x+1),
e
l(x-tfrac13r)l(x+tfrac12r);=;(3x-1)(2x+1)6,
de modo que
6x^4+7x^3+6x^2-1 = (3x-1)(2x+1)(x^2+x+1)

Passo 5

Para encontrar as raízes do fator x^2+x+1=0, usamos a fórmula quadrática:
x = -1pmraiz1-4cdot1cdot12 = -1pm iraiz32
Já as raízes dos fatores lineares são x=tfrac13 e x=-tfrac12.

Resposta

Fatoração completa:
6x^4+7x^3+6x^2-1 = (3x-1),(2x+1),(x^2+x+1)
As raízes são
x = tfrac13, x = -tfrac12, x = -1 + iraiz32, x = -1 - iraiz32

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