Para cada equação abaixo, trace os gráficos da expressão do lado esquerdo e da expressão do lado direito. Use um programa gráfico e adote o mesmo intervalo para x. Se os gráficos sugerirem que se trata de uma identidade, prove-a algebricamente.
sen^4(x)+cos ^4(x)=(sen^2(x)+cos ^2(x))^2

Passo 1

O enunciado pede para comparar graficamente as funções
f(x)=sen^4(x)+cos^4(x)
e
g(x)=l(sen^2(x)+cos^2(x)r)^2
no mesmo intervalo de x. Se os gráficos coincidirem para todo x, então é uma identidade trigonométrica; caso contrário, não é. Para provar ou refutar algebricamente, precisaremos usar a identidade fundamental
sen^2(x)+cos^2(x)=1
e manipulações algébricas em potências de seno e cosseno.

Passo 2

Aplicando diretamente a identidade sen^2(x)+cos^2(x)=1 ao lado direito, temos
g(x)=l(sen^2(x)+cos^2(x)r)^2 = 1^2 = 1

Passo 3

Agora simplificamos o lado esquerdo. Observe que
sen^4(x)+cos^4(x) =(sen^2(x)+cos^2(x))^2 -2,sen^2(x)cos^2(x)
Como sen^2(x)+cos^2(x)=1, isso vira
sen^4(x)+cos^4(x) =1 -2,sen^2(x)cos^2(x)

Passo 4

Para ver se f(x)=g(x) para todo x, comparamos
f(x)=1-2,sen^2(x)cos^2(x) e g(x)=1
A diferença é
f(x)-g(x)=-2,sen^2(x)cos^2(x)
Esse termo só é zero quando sen(x)cos(x)=0, ou seja, em pontos esparsos (por exemplo x=kpi/2). Para valores gerais de x, sen^2(x)cos^2(x)>0, logo
sen^4(x)+cos^4(x)<1
Isto mostra que, embora em certos pontos os gráficos coincidam, em geral eles diferem: não é uma identidade.

Resposta

A igualdade não é uma identidade, pois
sen^4(x)+cos^4(x)=1-2,sen^2(x)cos^2(x)neq1
para todo x.

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