Para cada equação abaixo, trace os gráficos da expressão do lado esquerdo e da expressão do lado direito. Use um programa gráfico e adote o mesmo intervalo para
. Se os gráficos sugerirem que se trata de uma identidade, prove-a algebricamente.
Passo 1
O enunciado pede para comparar graficamente as funções
e
no mesmo intervalo de
. Se os gráficos coincidirem para todo
, então é uma identidade trigonométrica; caso contrário, não é. Para provar ou refutar algebricamente, precisaremos usar a identidade fundamental
e manipulações algébricas em potências de seno e cosseno.
Passo 2
Aplicando diretamente a identidade
ao lado direito, temos
Passo 3
Agora simplificamos o lado esquerdo. Observe que
Como
, isso vira
Passo 4
Para ver se
para todo
, comparamos
A diferença é
Esse termo só é zero quando
, ou seja, em pontos esparsos (por exemplo
). Para valores gerais de
,
, logo
Isto mostra que, embora em certos pontos os gráficos coincidam, em geral eles diferem: não é uma identidade.
Resposta
A igualdade não é uma identidade, pois
para todo
.