Prove as identidades abaixo.
1sec (x)-tan (x)+cos (x)tan (x)+sec (x)=2 sec(x)

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
1sec x - tan x ;+;cos xtan x + sec x;=;2,sec x
O conteúdo envolve manipulações algébricas e as identidades básicas
sec^2x - tan^2x =1 e
tan x = dfracsin xcos x,
sec x = dfrac1cos x.

Passo 2

Simplificamos a primeira parcela usando a diferença de quadrados:
1sec x - tan x =sec x+tan x(sec x-tan x)(sec x+tan x) =sec x+tan x,
pois sec^2x-tan^2x=1.

Passo 3

Para a segunda parcela escrevemos
tan x+sec x=sin x+1cos x, logo
cos xtan x + sec x =cos xtfracsin x+1cos x =cos^2x1+sin x =1-sin^2x1+sin x =1-sin x

Passo 4

Somando as duas partes obtém-se
sec x+tan x ;+;(1-sin x) =1cos x+sin xcos x+1-sin x =1+sin xcos x+1-sin x =,1+sin x+(1-sin x)cos x,cos x
O numerador é
1+sin x+cos x-sin xcos x =(1+cos x)+sin x,(1-cos x),
que, em geral, não é igual a 2.

Passo 5

Para ver um contra-exemplo basta tomar x=pi/3:
LHSapprox3,732+0,134=3,866, 2,sec!l(tfracpi3r)=4,
logo o lado esquerdo não coincide com 2sec x.

Resposta

A identidade é falsa; o lado esquerdo não se simplifica para 2sec x.

Exercícios de Livros Relacionados