Para cada equação abaixo, trace os gráficos da expressão do lado esquerdo e da expressão do lado direito. Use um programa gráfico e adote o mesmo intervalo para x. Se os gráficos sugerirem que se trata de uma identidade, prove-a algebricamente.
sen(x) sec (x)-cos ^2(x) tan (x)=sen^2(x) tan (x)

Passo 1

O enunciado pede para traçar, num mesmo intervalo de x, os gráficos de
sin(x),sec(x)-cos^2(x),tan(x)
e de
sin^2(x),tan(x),
verificar graficamente se coincidem (sugerindo uma identidade) e depois provar essa igualdade algebricamente usando as definições de funções trigonométricas.

Passo 2

Lembremos das definições em termos de seno e cosseno:
sec(x)=1cos(x), tan(x)=sin(x)cos(x)

Passo 3

Simplificamos o primeiro membro usando essas definições:
sin(x),sec(x) =sin(x),1cos(x) =sin(x)cos(x) =tan(x),
cos^2(x),tan(x) =cos^2(x),sin(x)cos(x) =sin(x),cos(x)
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sin(x),sec(x)-cos^2(x),tan(x) =tan(x)-sin(x),cos(x)

Passo 4

Expressamos o segundo membro também em seno e cosseno:
sin^2(x),tan(x) =sin^2(x),sin(x)cos(x) =sin^3(x)cos(x)
Assim a igualdade a provar torna-se
tan(x)-sin(x)cos(x) ;=; sin^3(x)cos(x)

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por cos(x) (válido quando cos(x)neq0), obtendo
cos(x)l[tan(x)-sin(x)cos(x)r] =sin^3(x)
Como cos(x),tan(x)=sin(x), isso dá
sin(x)-sin(x)cos^2(x) =sin^3(x)

Passo 6

Na expressão anterior, fatoramos sin(x):
sin(x)l[1-cos^2(x)r] =sin^3(x)
Mas ,1-cos^2(x)=sin^2(x), então o lado esquerdo é
sin(x),sin^2(x)=sin^3(x),
que coincide com o lado direito. Portanto confirmamos algebricamente a identidade.

Resposta

Para todo x tal que cos(x)neq0, vale
sin(x),sec(x)-cos^2(x),tan(x) =sin^2(x),tan(x)

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