Para cada equação abaixo, trace os gráficos da expressão do lado esquerdo e da expressão do lado direito. Use um programa gráfico e adote o mesmo intervalo para
. Se os gráficos sugerirem que se trata de uma identidade, prove-a algebricamente.
Passo 1
O enunciado pede para traçar, num mesmo intervalo de
, os gráficos de
e de
,
verificar graficamente se coincidem (sugerindo uma identidade) e depois provar essa igualdade algebricamente usando as definições de funções trigonométricas.
e de
verificar graficamente se coincidem (sugerindo uma identidade) e depois provar essa igualdade algebricamente usando as definições de funções trigonométricas.
Passo 2
Lembremos das definições em termos de seno e cosseno:
Passo 3
Simplificamos o primeiro membro usando essas definições:
Logo
Passo 4
Expressamos o segundo membro também em seno e cosseno:
Assim a igualdade a provar torna-se
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados por
(válido quando
), obtendo
Como
, isso dá
Passo 6
Na expressão anterior, fatoramos
:
Mas
, então o lado esquerdo é
que coincide com o lado direito. Portanto confirmamos algebricamente a identidade.
Resposta
Para todo
tal que
, vale