Para cada equação abaixo, trace os gráficos da expressão do lado esquerdo e da expressão do lado direito. Use um programa gráfico e adote o mesmo intervalo para
. Se os gráficos sugerirem que se trata de uma identidade, prove-a algebricamente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é uma identidade trigonométrica. Vamos usar duas ferramentas principais: a fatoração de diferença de cubos e a identidade pitagórica
.
Passo 2
Começamos fatorando o lado direito como diferença de cubos. Tomando
e
, vale
logo
Passo 3
Agora simplificamos o lado esquerdo:
Passo 4
Precisamos ver que
Usando
ao quadrado temos
de onde
Passo 5
Comparando as expressões fatoradas:
e pelo resultado do Passo 4 vemos que os fatores internos coincidem. Logo
para todo
.
Resposta
A identidade está comprovada: