Para cada equação abaixo, trace os gráficos da expressão do lado esquerdo e da expressão do lado direito. Use um programa gráfico e adote o mesmo intervalo para x. Se os gráficos sugerirem que se trata de uma identidade, prove-a algebricamente.
(sen^2(x) cos ^2(x)-1)(cos ^2(x)-sen^2(x))=sen^6(x)-cos ^6(x)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
(sin^2xcos^2x-1),(cos^2x-sin^2x)=sin^6x-cos^6x
é uma identidade trigonométrica. Vamos usar duas ferramentas principais: a fatoração de diferença de cubos e a identidade pitagórica sin^2x+cos^2x=1.

Passo 2

Começamos fatorando o lado direito como diferença de cubos. Tomando a=sin^2x e b=cos^2x, vale
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),
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sin^6x-cos^6x =(sin^2x-cos^2x),l(sin^4x+sin^2xcos^2x+cos^4xr)

Passo 3

Agora simplificamos o lado esquerdo:
(sin^2xcos^2x-1),(cos^2x-sin^2x) =-l(1-sin^2xcos^2xr),(cos^2x-sin^2x)
=(sin^2x-cos^2x),l(1-sin^2xcos^2xr)

Passo 4

Precisamos ver que
sin^4x+sin^2xcos^2x+cos^4x =1-sin^2xcos^2x
Usando sin^2x+cos^2x=1 ao quadrado temos
(sin^2x+cos^2x)^2 =sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x=1,
de onde
sin^4x+cos^4x+sin^2xcos^2x =1-sin^2xcos^2x

Passo 5

Comparando as expressões fatoradas:
LHS=(sin^2x-cos^2x),l(1-sin^2xcos^2xr),
RHS=(sin^2x-cos^2x),l(sin^4x+sin^2xcos^2x+cos^4xr),
e pelo resultado do Passo 4 vemos que os fatores internos coincidem. Logo
(sin^2xcos^2x-1)(cos^2x-sin^2x) =sin^6x-cos^6x
para todo x.

Resposta

A identidade está comprovada:
(sin^2xcos^2x-1),(cos^2x-sin^2x)=sin^6x-cos^6xforall x

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