Prove as identidades abaixo.
tan (x)1+cos (x)+tan (x)1-cos (x)=2 csc (x) sec (x)

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
tan(x)1+cos(x) + tan(x)1-cos(x) = 2 csc(x),sec(x)
O conteúdo envolve manipular razões trigonométricas usando as definições tan(x)=sin(x)cos(x), sec(x)=1cos(x) e csc(x)=1sin(x).

Passo 2

Escrevemos cada termo da soma em função de sin(x) e cos(x):
tan(x)1+cos(x) = sin(x)/cos(x)1+cos(x), tan(x)1-cos(x) = sin(x)/cos(x)1-cos(x)

Passo 3

Colocamos as duas frações sobre um denominador comum cos(x)l(1+cos(x)r)l(1-cos(x)r):
tan(x)1+cos(x) + tan(x)1-cos(x) = sin(x),(1-cos(x)) + sin(x),(1+cos(x))cos(x),(1-cos^2(x))

Passo 4

No numerador temos
sin(x),(1-cos(x)) + sin(x),(1+cos(x)) = sin(x)l(1-cos(x)+1+cos(x)r) = 2,sin(x)
No denominador, como 1-cos^2(x)=sin^2(x), fica
cos(x),(1-cos^2(x)) = cos(x),sin^2(x)
Logo a soma é
2,sin(x)cos(x),sin^2(x) = 2cos(x),sin(x)

Passo 5

Reconhecemos que
1cos(x),sin(x) = 1cos(x)cdot1sin(x) = sec(x),csc(x)
Portanto
2cos(x),sin(x) = 2,sec(x),csc(x),
que coincide com o lado direito da identidade.

Resposta

tan(x)1+cos(x) + tan(x)1-cos(x) = 2,csc(x),sec(x)

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