Prove as identidades abaixo.
cot (pi2-x)-sec (pi2-x)sec (x)=sen(x)-cot (x)

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
cotl(tfracpi2-xr)-secl(tfracpi2-xr)sec(x) =sen(x)-cot(x)
O conteúdo principal aqui são as identidades de cofunções e as definições de tan, cot, sec e csc. Vamos usar:
cotl(tfracpi2-xr)=tan(x) e secl(tfracpi2-xr)=csc(x), além de sec(x)=1/cos(x) e csc(x)=1/sen(x).

Passo 2

Substituindo as cofunções no numerador, temos
cotl(tfracpi2-xr)-secl(tfracpi2-xr) =tan(x)-csc(x)
Logo a expressão original vira
tan(x)-csc(x)sec(x)

Passo 3

Agora usamos sec(x)=1/cos(x), então dividir por sec(x) é o mesmo que multiplicar por cos(x). Assim
tan(x)-csc(x)sec(x) =(tan(x)-csc(x))cos(x)

Passo 4

Escrevendo tan(x)=sen(x)cos(x) e csc(x)=1sen(x), obtemos
(tan(x)-csc(x))cos(x) =l(sen(x)cos(x)-1sen(x)r)cos(x) =sen(x)-cos(x)sen(x)

Passo 5

Repare que cos(x)sen(x)=cot(x). Portanto
sen(x)-cos(x)sen(x) =sen(x)-cot(x),
que é exatamente o lado direito da identidade.

Resposta

A identidade está provada, pois começando do lado esquerdo chegamos em
sen(x)-cot(x)

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