Prove as identidades abaixo.
[2 cot (x)-tan (x)]^2=4 csc ^2(x)+sec ^2(x)-9

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
[2cot(x)-tan(x)]^2=4csc^2(x)+sec^2(x)-9
O conteúdo usado aqui envolve expansão de quadrado de soma/diferença, a relação cot(x),tan(x)=1 e as identidades pitagóricas
cot^2(x)+1=csc^2(x) e tan^2(x)+1=sec^2(x).

Passo 2

Começamos expandindo o quadrado no lado esquerdo:
[2cot(x)-tan(x)]^2 =4cot^2(x)-4,cot(x),tan(x)+tan^2(x)
Como cot(x),tan(x)=1, isso vira
4cot^2(x)-4+tan^2(x)

Passo 3

Agora substituímos as identidades pitagóricas:
cot^2(x)=csc^2(x)-1, tan^2(x)=sec^2(x)-1
Logo,
4cot^2(x)-4+tan^2(x) =4l(csc^2(x)-1r)-4+l(sec^2(x)-1r)

Passo 4

Distribuindo e somando termos semelhantes:
4csc^2(x)-4-4+sec^2(x)-1 =4csc^2(x)+sec^2(x)-9,
que é exatamente o lado direito da identidade.

Resposta

A identidade está provada:
[2cot(x)-tan(x)]^2=4csc^2(x)+sec^2(x)-9

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