Para cada uma das funções generalizadas abaixo, forneça uma fórmula fechada para a seqüência que ela determina.
(3 x-1)^{3}

Passo 1

O enunciado pede a sequência (a_n) cuja função geratriz é
G(x)= (3x-1)^3.
Por definição, se
G(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n\,x^n,
então
a_n = [x^n]\,G(x),
ou seja, a_n é o coeficiente de x^n em G(x).

Passo 2

Vamos usar o Teorema Binomial para expandir
(3x-1)^3 = \sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}(3x)^k(-1)^{3-k}.

Passo 3

No somatório acima, o termo geral é
\binom{3}{k}\,3^k\,(-1)^{3-k}\,x^k.
Logo, para cada n, o coeficiente de x^n é
a_n = \begin{cases} \displaystyle \binom{3}{n}\,3^n\,(-1)^{3-n}, & 0\le n\le 3,\\\\ 0, & n\ge 4. \end{cases}

Passo 4

Reescrevendo de forma fechada, temos
a_n = \binom{3}{n}\,3^n\,(-1)^{3-n}\quad\text{para }n=0,1,2,3, \quad\text{e}\quad a_n=0\text{ para }n\ge4.

Resposta

a_n = \begin{cases} \displaystyle \binom{3}{n}\,3^n\,(-1)^{3-n}, & 0\le n\le 3,\\[6pt] 0, & n\ge4. \end{cases}]

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