Para cada uma das funções generalizadas abaixo, forneça uma fórmula fechada para a seqüência que ela determina.
\left(x^{2}+1\right)^{3}

Passo 1

O enunciado dá a função geradora
G(x) = (x^{2}+1)^{3}
e pede a sequência \{a_{n}\}_{n\ge0} tal que
G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n}.
Para isso vamos usar o Teorema do Binômio para expandir (1+x^{2})^{3}.

Passo 2

Pelo Teorema do Binômio temos
(1+x^{2})^{3} = \sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}\,(x^{2})^{k} = \sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}\,x^{2k}.
Isso mostra que só aparecem potências pares de x.

Passo 3

Comparando
\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n} \quad\text{com}\quad \sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}\,x^{2k},
vemos que:
  • para n=2k com k=0,1,2,3, o coeficiente a_{2k}=\binom{3}{k};
  • para todo outro n (ímpares ou n>6), a_{n}=0.

Resposta

a_{n} = \begin{cases} \displaystyle \binom{3}{\tfrac{n}{2}}, & \text{se \(n\) é par e \(0\le n\le 6\),}\\[1em] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}éá]

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