Para cada uma das funções generalizadas abaixo, forneça uma fórmula fechada para a seqüência que ela determina.
x^{2} /(1-x)^{3}

Passo 1

O enunciado pede a sequência (a_n)_{n\ge0} cuja função geradora é
G(x)=\frac{x^2}{(1-x)^3}.
O conteúdo que vamos usar é a expansão em série de potências do binômio de Newton para expoente -3 e o deslocamento de índice gerado pela multiplicação por x^2.

Passo 2

Lembramos que, para |x|<1, vale a expansão
\frac{1}{(1-x)^3} \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+2}{2}\,x^n.
Isto vem da fórmula geral \frac1{(1-x)^{k}}=\sum_{n=0}^\infty\binom{n+k-1}{k-1}x^n com k=3.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x^2 obtemos
\frac{x^2}{(1-x)^3} =\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+2}{2}\,x^{n+2}.
Para identificar o coeficiente de x^m, façamos a troca de índice m=n+2. Então n=m-2 e n\ge0 vira m\ge2.

Passo 4

Com m\ge2, o coeficiente de x^m é
a_m = \binom{(m-2)+2}{2} = \binom{m}{2}.
Para m=0 e m=1, não há termo na soma, logo a_0=a_1=0. Em forma fechada, para n\ge0:
a_n = \begin{cases} \displaystyle \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}, & n\ge2,\\\\ 0, & n=0,1. \end{cases}

Resposta

Para a função geradora \dfrac{x^2}{(1-x)^3}, a sequência (a_n) é dada por
a_n = \begin{cases} \dfrac{n(n-1)}{2}, & n\ge2,\\\\ 0, & n=0,1. \end{cases}

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