Encontre uma forma fechada para a função generalizada para a seqüência \left\{a_{n}\right\}, em que
Questão 6
a_{n}=\binom{10}{n+1} para n=0,1,2, \ldots.

Passo 1

O enunciado define a sequência \{a_{n}\} por
a_{n} = \binom{10}{n+1},\quad n=0,1,2,\dots
e pede a forma fechada da função geratriz ordinária
A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n}.
Para resolver vamos usar a definição de soma geratriz e o Teorema Binomial.

Passo 2

Escrevemos diretamente
A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{10}{n+1}x^{n}.
Fazendo a troca de índice k=n+1, temos n=k-1 e k varia de 1 até 10 (pois \binom{10}{k}=0 para k>10). Logo
A(x)=\sum_{k=1}^{10}\binom{10}{k}x^{\,k-1}.

Passo 3

Agora note que
\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}x^{k}=(1+x)^{10}
pelo Teorema Binomial. Subtraindo o termo k=0 e depois dividindo por x, obtemos
\sum_{k=1}^{10}\binom{10}{k}x^{k-1} =\frac{1}{x}\Bigl((1+x)^{10}-\binom{10}{0}x^{0}\Bigr) =\frac{(1+x)^{10}-1}{x}.
Portanto essa é a forma fechada da geratriz.

Resposta

A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} =\frac{(1+x)^{10}-1}{x}.

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