Encontre uma forma fechada para a função generalizada de cada uma das seqüências abaixo. (Para cada seqüência, utilize a escolha mais óbvia de uma seqüência que contenha os termos iniciais listados.)
0,0,0,1,2,3,4, \ldots

Passo 1

O enunciado pede uma forma fechada para a sequência 0,0,0,1,2,3,4,\ldots. Vamos identificar o padrão dos termos iniciais e depois traduzir isso em uma fórmula geral.

Passo 2

Observando os primeiros termos, vemos que a_{1}=0, a_{2}=0, a_{3}=0,
e a partir do quarto termo a sequência cresce de 1 em 1, com a_{4}=1, a_{5}=2, a_{6}=3, a_{7}=4, etc.
Logo, para n\ge4 vale a_{n}=n-3, e para n\le3 vale a_{n}=0.

Passo 3

Escrevendo isso em forma por partes, usando uma função indicadora, temos
a_{n}= \begin{cases} 0, & \text{se }n\le3,\\\ n-3, & \text{se }n\ge4. \end{cases}

Passo 4

Para obter uma única expressão sem definir casos, podemos usar valor absoluto:
a_{n}=\frac{(n-3)+\lvert n-3\rvert}{2}.
De fato, se n<3 então \lvert n-3\rvert=3-n e a_{n}=0,
enquanto se n\ge3 então \lvert n-3\rvert=n-3 e a_{n}=n-3.

Resposta

a_{n}=\frac{(n-3)+\lvert n-3\rvert}{2}.

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