Para cada uma das funções generalizadas abaixo, forneça uma fórmula fechada para a seqüência que ela determina.
Questão 7
(3 x-4)^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a função geradora
G(x) = (3x - 4)^3
e pede a fórmula fechada da sequência (a_n)_{n\ge0} cujos termos são os coeficientes de x^n em G(x). Vamos usar a expansão binomial para extrair esses coeficientes.

Passo 2

Aplicamos o Teorema do Binômio a
(3x - 4)^3 = \sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} (3x)^k(-4)^{3-k}.
Cada termo dessa soma é
\binom{3}{k}3^k(-4)^{3-k}\,x^k.

Passo 3

Comparando com
G(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n,
vemos que para 0\le n\le3
a_n = \binom{3}{n}\,3^n\,(-4)^{3-n}.

Passo 4

Como (3x-4)^3 é um polinômio de grau 3, para todo n\ge4 não há termo x^n, logo
a_n = 0\quad\text{para }n\ge4.

Resposta

a_n = \begin{cases} \displaystyle \binom{3}{n}\,3^n\,(-4)^{3-n},&0\le n\le3,\\[6pt] 0,&n\ge4. \end{cases}]

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