Para cada uma das funções generalizadas abaixo, forneça uma fórmula fechada para a seqüência que ela determina.
\left(1+x^{3}\right) /(1+x)^{3}

Passo 1

O enunciado pede a sequência \{a_n\} determinada pela função geradora
\frac{1 + x^3}{(1+x)^3} =\sum_{n=0}^\infty a_n\,x^n.
O conteúdo é expansão em série de potências usando a fórmula binomial para (1+x)^{-3}.

Passo 2

Usamos a expansão
(1+x)^{-3} =\sum_{n=0}^\infty \binom{-3}{n}x^n =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\binom{n+2}{2}x^n,
pois \displaystyle\binom{-3}{n}=(-1)^n\binom{n+2}{2}.

Passo 3

Multiplicando por 1+x^3 obtemos
\frac{1+x^3}{(1+x)^3} =\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\binom{n+2}{2}x^n +\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\binom{n+2}{2}x^{n+3}.
No segundo somatório, faça k=n+3, de modo que a contribuição ao coeficiente de x^k (para k\ge3) é \;(-1)^{k-3}\binom{k-1}{2}.

Passo 4

Portanto
a_n =\begin{cases} (-1)^n\binom{n+2}{2},&n<3,\\[6pt] (-1)^n\binom{n+2}{2}+(-1)^{n-3}\binom{n-1}{2},&n\ge3. \end{cases}
Como (-1)^{n-3}=(-1)^n\cdot(-1)^3=-(-1)^n, para n\ge3 temos
a_n =(-1)^n\Bigl[\binom{n+2}{2}-\binom{n-1}{2}\Bigr] \;=\;(-1)^n\,\frac{(n+2)(n+1)-(n-1)(n-2)}{2} \;=\;(-1)^n\,3n.]

Resposta

a_0=1,\quad a_1=-3,\quad a_2=6,
e para todo n\ge3 a_n =(-1)^n\,3n.

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