Encontre uma forma fechada para a função generalizada para a seqüência \left\{a_{n}\right\}, em que
a_{n}=2 n+3 para todo n=0,1,2, \ldots.

Passo 1

O enunciado pede a função geradora (geralizada) da sequência \{a_n\} definida por
a_{n}=2n+3,\quad n=0,1,2,\dots
Aqui vamos usar o conceito de série geradora, a soma de potências em z, e as fórmulas conhecidas para séries geométricas e suas derivadas.

Passo 2

Pela definição de função geradora, temos
A(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}(2n+3)\,z^{n}.

Passo 3

Separamos essa soma em duas partes:
A(z) =2\sum_{n=0}^{\infty}n\,z^{n} +3\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}.

Passo 4

Usamos as fórmulas válidas para |z|<1:
\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}=\frac{1}{1-z}, \qquad \sum_{n=0}^{\infty}n\,z^{n}=\frac{z}{(1-z)^{2}}.

Passo 5

Substituindo em A(z):
A(z) =2\cdot\frac{z}{(1-z)^{2}} +3\cdot\frac{1}{1-z} =\frac{2z}{(1-z)^{2}}+\frac{3}{1-z}.
Colocando no mesmo denominador (1-z)^{2}:
A(z) =\frac{2z+3(1-z)}{(1-z)^{2}} =\frac{3 - z}{(1-z)^{2}}.

Resposta

A(z)=\sum_{n=0}^{\infty}(2n+3)\,z^{n} =\frac{3 - z}{(1 - z)^{2}},\quad |z|<1.

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