Para cada uma das funções generalizadas abaixo, forneça uma fórmula fechada para a seqüência que ela determina.
Questão 7
Questão 7
Passo 1
O enunciado fornece a função geradora
e pede a fórmula fechada da sequência
cujo gerador é
Para resolver, vamos escrever cada parcela como série de potências e depois identificar os coeficientes
.
Passo 2
Expandimos a primeira parcela como série geométrica em
:
Logo, dessa parte surge um coeficiente igual a
se
com
, e
caso contrário.
Passo 3
Agora expandimos a subtração do polinômio:
Isto contribui com coeficiente
para
e
para
.
Passo 4
Somando as duas contribuições, obtemos para cada
:
- Da série geométrica,
se é múltiplo de e , e caso contrário. - Do polinômio,
se , e se .
Portanto,