Para cada uma das funções generalizadas abaixo, forneça uma fórmula fechada para a seqüência que ela determina.
Questão 7
\left(x^{4} /\left(1-x^{4}\right)\right)-x^{3}-x^{2}-x-1

Passo 1

O enunciado fornece a função geradora
G(x)=\frac{x^{4}}{1-x^{4}}-x^{3}-x^{2}-x-1
e pede a fórmula fechada da sequência (a_{n})_{n\ge0} cujo gerador é
G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}.
Para resolver, vamos escrever cada parcela como série de potências e depois identificar os coeficientes a_{n}.

Passo 2

Expandimos a primeira parcela como série geométrica em x^{4}:
\frac{x^{4}}{1-x^{4}} = x^{4}\sum_{k=0}^{\infty}(x^{4})^{k} = \sum_{k=1}^{\infty}x^{4k}.
Logo, dessa parte surge um coeficiente igual a 1 se n=4k com k\ge1, e 0 caso contrário.

Passo 3

Agora expandimos a subtração do polinômio:
-x^{3}-x^{2}-x-1=-\bigl(1+x+x^{2}+x^{3}\bigr).
Isto contribui com coeficiente -1 para n=0,1,2,3 e 0 para n\ge4.

Passo 4

Somando as duas contribuições, obtemos para cada n\ge0:
  • Da série geométrica, 1 se n é múltiplo de 4 e n\ge4, e 0 caso contrário.
  • Do polinômio, -1 se 0\le n\le3, e 0 se n\ge4.
    Portanto,
a_{n}= \begin{cases} -1, &0\le n\le3,\\\\ 1, &n\ge4\text{ e }n\equiv0\pmod4,\\\\ 0, &\text{caso contrário}. \end{cases}á

Resposta

a_{n}= \begin{cases} -1, &0\le n\le3,\\\\ 1, &n\ge4\text{ e }n\equiv0\pmod4,\\\\ 0, &\text{caso contrário}. \end{cases}á

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