Encontre uma forma fechada para a função generalizada para a seqüência \left\{a_{n}\right\}, em que
a_{n}=5 para todo n=0,1,2, \ldots.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \{a_n\} com a_n=5 para todo n\ge0. O conteúdo aqui é função geradora de uma sequência, que é definida como uma série de potências e usa a soma da série geométrica.

Passo 2

Definimos a função geradora G(x) da sequência \{a_n\} pela soma de potências em x:
G(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n\,x^n.

Passo 3

Substituindo a_n=5 temos
G(x)=\sum_{n=0}^\infty 5\,x^n =5\sum_{n=0}^\infty x^n.
Para |x|<1 sabemos que
\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x},
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G(x)=\frac{5}{1-x}.

Resposta

G(x)=\frac{5}{1-x}.

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