Para cada uma das funções generalizadas abaixo, forneça uma fórmula fechada para a seqüência que ela determina.
Questão 7
x^{2} /(1-x)^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a função geratriz
\frac{x^2}{(1 - x)^2}
e pede a fórmula fechada da sequência (a_n) cuja soma de potências é
\sum_{n=0}^\infty a_n x^n = \frac{x^2}{(1 - x)^2}.
Para resolver, vamos usar a expansão de \frac{1}{(1 - x)^2}.

Passo 2

Sabemos que
\frac{1}{(1 - x)^2} = \sum_{n=0}^\infty (n + 1)\,x^n.
Multiplicando ambos os lados por x^2, obtém-se
\frac{x^2}{(1 - x)^2} = \sum_{n=0}^\infty (n + 1)\,x^{n+2}.

Passo 3

Fazendo a troca de índice m = n + 2, a soma torna-se
\sum_{m=2}^\infty (m - 1)\,x^m,
o que mostra que o coeficiente de x^m é m - 1 para m\ge2 e zero para m=0,1.

Resposta

a_0 = 0, a_1 = 0,
e para todo n\ge2
a_n = n - 1.

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