Encontre uma forma fechada para a função generalizada para a seqüência \left\{a_{n}\right\}, em que
a_{n}=\binom{n+4}{n} para todo n=0,1,2, \ldots.

Passo 1

O enunciado pede a geratriz ordinária da sequência \{a_n\} em que
a_n = \binom{n+4}{n},\quad n=0,1,2,\dots
Ou seja, queremos
G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^n.
O conteúdo necessário é o teorema do binômio generalizado para gerar funções do tipo (1 - x)^{-\alpha}.

Passo 2

Definimos
G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+4}{n}\,x^n.
Pelo binômio generalizado, para qualquer \alpha\in\mathbb{R} vale
(1 - x)^{-\alpha} =\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha+n-1}{n}\,x^n.

Passo 3

Basta escolher \alpha=5. Então
(1 - x)^{-5} =\sum_{n=0}^{\infty}\binom{5 + n - 1}{n}\,x^n =\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+4}{n}\,x^n =G(x).

Resposta

G(x)=\frac{1}{(1 - x)^{5}}.

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