Encontre uma forma fechada para a função generalizada de cada uma das seqüências abaixo. (Para cada seqüência, utilize a escolha mais óbvia de uma seqüência que contenha os termos iniciais listados.)
Questão 4
0,1,-2,4,-8,16,-32,64, \ldots

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujos primeiros termos são
0, 1, –2, 4, –8, 16, –32, 64, …
Queremos encontrar uma forma fechada para a_n. Trata-se de identificar um padrão de sequência — neste caso, a partir de certo ponto ela é geométrica.

Passo 2

Vamos indexar a sequência de modo que
a_0 = 0,\quad a_1 = 1,\;a_2 = -2,\;a_3 = 4,\;\dots
Observamos que, a partir de n=1, os termos formam uma progressão geométrica.

Passo 3

Numa progressão geométrica, cada termo a partir do segundo é o anterior vezes uma razão r. Aqui, de a_1=1 para a_2=-2 temos
r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{-2}{1} = -2.

Passo 4

A fórmula geral de uma sequência geométrica de primeiro termo a_1 e razão r é
a_n = a_1 \,r^{\,n-1}.
Substituindo a_1=1 e r=-2, para n\ge1 obtemos
a_n = 1\cdot(-2)^{\,n-1} = (-2)^{\,n-1}.

Passo 5

Como a_0 não se encaixa na fórmula geométrica, definimos a forma fechada por partes:
a_n = \begin{cases} 0, & n=0,\\\ (-2)^{\,n-1}, & n\ge1. \end{cases}

Resposta

a_n = \begin{cases} 0, & n=0,\\\ (-2)^{\,n-1}, & n\ge1. \end{cases}

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