Encontre uma forma fechada para a função generalizada de cada uma das seqüências abaixo. (Para cada seqüência, utilize a escolha mais óbvia de uma seqüência que contenha os termos iniciais listados.)
Questão 4
Questão 4
Passo 1
O enunciado dá a sequência cujos primeiros termos são
0, 1, –2, 4, –8, 16, –32, 64, …
Queremos encontrar uma forma fechada para . Trata-se de identificar um padrão de sequência — neste caso, a partir de certo ponto ela é geométrica.
0, 1, –2, 4, –8, 16, –32, 64, …
Queremos encontrar uma forma fechada para
Passo 2
Vamos indexar a sequência de modo que
Observamos que, a partir de
, os termos formam uma progressão geométrica.
Passo 3
Numa progressão geométrica, cada termo a partir do segundo é o anterior vezes uma razão
. Aqui, de
para
temos
Passo 4
A fórmula geral de uma sequência geométrica de primeiro termo
e razão
é
Substituindo
e
, para
obtemos
Passo 5
Como
não se encaixa na fórmula geométrica, definimos a forma fechada por partes: