Para cada uma das seguintes funções z=f(x, y), mostre que fx, fy e D são todos iguais a 0 na origem. Mostre também que na origem, (b) um máximo e
f(x, y)=-x^4-y^4.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y) = -x^4 - y^4
e pede para mostrar que partial fpartial x, partial fpartial y e
D = fxx,fyy - (fxy)^2
são todos zero na origem, e então classificar o ponto (0,0).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
fx(x,y) = partialpartial xl(-x^4-y^4r) = -4x^3, fy(x,y) = partialpartial yl(-x^4-y^4r) = -4y^3
Em particular, em (0,0) temos
fx(0,0) = -4cdot 0^3 = 0, fy(0,0) = -4cdot 0^3 = 0

Passo 3

Agora as derivadas parciais de segunda ordem:
fxx(x,y) = partialpartial x(-4x^3) = -12x^2, fyy(x,y) = partialpartial y(-4y^3) = -12y^2, fxy(x,y) = partialpartial y(-4x^3) = 0
Logo, em (0,0) temos
fxx(0,0) = 0, fyy(0,0) = 0, fxy(0,0) = 0,
e
D(0,0) = fxx(0,0),fyy(0,0) - l(fxy(0,0)r)^2 = 0cdot 0 - 0^2 = 0

Passo 4

O teste de segunda derivada dá D(0,0)=0, que é inconclusivo. Então examinamos o sinal de f. Note que
x^4+y^4>= 0para todo (x,y),
com igualdade só em (0,0). Assim
f(x,y) = -l(x^4+y^4r)<= 0
e f(0,0)=0. Portanto (0,0) é ponto de máximo (global) de f.

Resposta

fx(0,0)=0, fy(0,0)=0, D(0,0)=0, e em (0,0) temos um máximo de f.

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