Para cada uma das seguintes funções z=f(x, y), mostre que fx, fy e D são todos iguais a 0 na origem. Mostre também que na origem, (c) um ponto de sela.
f(x, y)=x^3 y^3.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^3y^3
e pede para mostrar que em (0,0) temos ,fx=fy=0 e que
D = fxxfyy - (fxy)^2
também vale zero. Depois precisamos classificar o ponto (0,0) como ponto de sela.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem usando regra do produto.
fx = partialpartial x(x^3y^3) = 3x^2,y^3, fy = partialpartial y(x^3y^3) = 3x^3,y^2
Logo, em (0,0) temos
fx(0,0)=3cdot0^2cdot0^3=0, fy(0,0)=3cdot0^3cdot0^2=0

Passo 3

Agora as derivadas de segunda ordem:
fxx = partialpartial x(3x^2y^3) = 6x,y^3, fyy = partialpartial y(3x^3y^2) = 6x^3,y, fxy = partialpartial y(3x^2y^3) = 9x^2,y^2
Em (0,0) todas valem zero:
fxx(0,0)=0, fyy(0,0)=0, fxy(0,0)=0
Logo
D(0,0)=fxx(0,0),fyy(0,0)-l(fxy(0,0)r)^2=0cdot0-0=0

Passo 4

Como D(0,0)=0, o teste da segunda derivada é inconclusivo. Para ver que (0,0) é ponto de sela, observe dois caminhos:
  1. Se y=x, então f(x,x)=x^3cdot x^3 = x^6>0(xneq0)
  2. Se y=-x, então f(x,-x)=x^3cdot(-x)^3 = -x^6<0(xneq0)
Como f toma valores positivos em uma direção e negativos em outra arbitrariamente perto de (0,0), concluímos que é ponto de sela.

Resposta

Em (0,0):
fx=0, fy=0, D=0 e o ponto é um ponto de sela.

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