Para cada uma das seguintes funções
, mostre que
e
são todos iguais a 0 na origem. Mostre também que na origem, (c) um ponto de sela.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que em
temos
e que
também vale zero. Depois precisamos classificar o ponto
como ponto de sela.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem usando regra do produto.
Logo, em
temos
Passo 3
Agora as derivadas de segunda ordem:
Em
todas valem zero:
Logo
Passo 4
Como
, o teste da segunda derivada é inconclusivo. Para ver que
é ponto de sela, observe dois caminhos:
- Se
, então - Se
, então
Como
toma valores positivos em uma direção e negativos em outra arbitrariamente perto de
, concluímos que é ponto de sela.
Resposta
Em
:
,
,
e o ponto é um ponto de sela.