Para cada terno de inteiros positivos (a, b, c) tais que a^2+b^2=c^2 considera-se o numero n= a.b. (b^2-a^2). Achar o maior número natural que é divisor comum de todos os números n considerados.

Passo 1

O enunciado pede o maior inteiro que divide todos os números
n = a,b,l(b^2 - a^2r)
onde (a,b,c) é um terno de inteiros positivos com
a^2 + b^2 = c^2
O conteúdo é combinação de teoria de ternos pitagóricos com cálculo de máximo divisor comum. Vamos parametrizar os ternos e, em seguida, mostrar que todo n é múltiplo de 84, e que 84 é o maior.

Passo 2

Um terno pitagórico primitivo (com gcd(a,b)=1) é dado por
a = m^2 - n^2, b = 2mn, c = m^2 + n^2,
onde gcd(m,n)=1 e m,n têm paridades opostas. Então
n = a,b,l(b^2 - a^2r) = (m^2 - n^2),(2mn),l((2mn)^2 - (m^2 - n^2)^2r)
Toda solução não-primitiva é múltiplo de uma primitiva, logo basta achar o gcd sobre primitivos.

Passo 3

Mostramos que n é sempre múltiplo de 4 e de 3:
  • Como m e n têm paridades opostas, mn é par, logo b=2mn é múltiplo de 4. Como a=m^2-n^2 é ímpar, concluímos que a,b é múltiplo de 4.
  • Em um terno pitagórico primitivo, exatamente um dos inteiros a,b,c é múltiplo de 3. Como gcd(a,b)=1, necessariamente 3mid a ou 3mid b, o que implica 3mid (a,b).
    Logo 12=4cdot3 divide a,b, e portanto divide n.

Passo 4

Mostramos que 7 também divide n. Duas possibilidades:
  1. Se 7mid a ou 7mid b, então 7mid a,b.
  2. Se gcd(a,7)=gcd(b,7)=1, então a^2 e b^2 são não nulos em Z7. Os quadrados não nulos mod 7 são 1,2,4. A condição a^2 + b^2 equiv c^2 pmod7 só se satisfaz em 1+1=2,;2+2=4,;4+4=1, isto é, sempre a^2equiv b^2pmod7. Logo b^2 - a^2 equiv 0pmod7
Em ambos os casos 7 divide um dos fatores de n. Portanto 7mid n.

Passo 5

Dos passos anteriores concluímos
84 = 4cdot 3cdot 7 ;m|; npara todo terno pitagórico ó
Por fim, o exemplo mínimo (a,b,c)=(3,4,5)
n = 3cdot4cdot(4^2 - 3^2) = 12cdot7 = 84,
mostrando que não há divisor comum maior que 84.

Resposta

84

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