Para cada terno de inteiros positivos (a, b, c) tais que considera-se o numero a.b. . Achar o maior número natural que é divisor comum de todos os números considerados.
Passo 1
O enunciado pede o maior inteiro que divide todos os números
onde é um terno de inteiros positivos com
O conteúdo é combinação de teoria de ternos pitagóricos com cálculo de máximo divisor comum. Vamos parametrizar os ternos e, em seguida, mostrar que todo é múltiplo de 84, e que 84 é o maior.
Passo 2
Um terno pitagórico primitivo (com ) é dado por
onde e têm paridades opostas. Então
Toda solução não-primitiva é múltiplo de uma primitiva, logo basta achar o sobre primitivos.
Passo 3
Mostramos que é sempre múltiplo de 4 e de 3:
Como e têm paridades opostas, é par, logo é múltiplo de 4. Como é ímpar, concluímos que é múltiplo de 4.
Em um terno pitagórico primitivo, exatamente um dos inteiros é múltiplo de 3. Como , necessariamente ou , o que implica .
Logo divide , e portanto divide .
Passo 4
Mostramos que também divide . Duas possibilidades:
Se ou , então .
Se , então e são não nulos em . Os quadrados não nulos mod 7 são . A condiçãosó se satisfaz em , isto é, sempre . Logo
Em ambos os casos divide um dos fatores de . Portanto .
Passo 5
Dos passos anteriores concluímos
Por fim, o exemplo mínimo (a,b,c)=(3,4,5) dá
n = 3cdot4cdot(4^2 - 3^2) = 12cdot7 = 84,
mostrando que não há divisor comum maior que 84.
Resposta
84
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da Matemática - Vol 1 - 3ª Edição - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 21