Uma cadeia de lanchonetes, tem funções de custo total C(x)=600-20 x e de receita R(x)=40 x referentes à produção e à venda de x unidades do produto.
(a) Calcule os pontos de nivelamento.
(b) Quando a empresa tem e não tem lucro?

Passo 1

O enunciado dá as funções de custo total e receita em função da quantidade x:
C(x)=600 - 20x, R(x)=40x
Queremos encontrar os pontos de nivelamento (ou ponto de equilíbrio), isto é, onde receita e custo se igualam, e depois determinar para quais x a empresa tem lucro ou prejuízo.

Passo 2

Para achar o ponto de nivelamento, basta resolver
R(x)=C(x)
ou seja
40x = 600 - 20x
Somando 20x em ambos os lados:
60x = 600
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x = 10
Substituindo em qualquer função, por exemplo em R(x):
R(10) = 40cdot 10 = 400,
e
C(10) = 600 - 20cdot 10 = 400
Portanto o ponto de nivelamento é (10,400).

Passo 3

Definimos o lucro pi(x) como
pi(x) = R(x) - C(x) = 40x - (600 - 20x) = 60x - 600
Para ter lucro, precisamos de pi(x)>0:
60x - 600 > 0 Longrightarrow x > 10
Para ter prejuízo, basta pi(x)<0:
60x - 600 < 0 Longrightarrow x < 10
Em x=10 a empresa não tem nem lucro nem prejuízo.

Resposta

(a) O ponto de nivelamento é em x=10 unidades, com R(10)=C(10)=400.
(b) A empresa tem lucro para x>10 e prejuízo para x<10; em x=10 não há nem lucro nem prejuízo.

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