A lei de Pareto de distribuição da renda de uma certa população é:
N(t)=50 times 10^10t^1.4
(a) Quantas pessoas possuem mais de um milhão de dólares?
(b) Quantas pessoas possuem renda entre 4000 e 12000 dólares?
(c) Qual é a menor renda das 20 pessoas que possuem renda mais alta?

Passo 1

O enunciado nos dá a lei de Pareto da renda de uma população, segundo a qual a quantidade de pessoas com renda maior ou igual a t é
N(t) = 50 times 10^10t^1.4
O que precisamos:
  • (a) calcular N(10^6) para saber quantas pessoas têm mais de um milhão de dólares;
  • (b) calcular N(4000) e N(12000) e fazer a diferença para achar quem ganha entre 4000 e 12000 dólares;
  • (c) resolver N(t)=20 para descobrir qual renda mínima faz parte das 20 maiores rendas.

Passo 2

Para (a), basta avaliar
N(10^6) ;=;50times 10^10(10^6)^1.4 =5times 10^1110^6times1.4 =5times 10^1110^8.4 =5times 10^11-8.4 =5times 10^2.6
Como 10^2.6approx 398,1, temos
N(10^6)approx 5times 398,1 approx 1990,5approx 1991 pessoas

Passo 3

Para (b), calculamos
N(4000)=50times10^10(4times10^3)^1.4 e N(12000)=50times10^10(1,2times10^4)^1.4
Feitas as contas (usando regras de potências e aproximações):
N(4000)approx 4,53times10^6, N(12000)approx 9,73times10^5
Logo o número de pessoas com renda entre 4000 e 12000 é
N(4000)-N(12000)approx 4,53times10^6 - 0,973times10^6 approx 3,56times10^6

Passo 4

Para (c), achamos t tal que N(t)=20. Ou seja,
5times10^11t^1.4 = 20 ;Longrightarrow; t^1.4 = 5times10^1120 = 2,5times10^10 ;Longrightarrow; t = l(2,5times10^10r)^1/1.4
Como 1/1.4approx0,7143 e 10^10/1.4=10^7,1429approx1,389times10^7, obtemos
tapprox 2,5^0,7143times10^7,1429approx1,924times1,389times10^7approx2,67times10^7
Então a menor renda entre as 20 maiores é cerca de 2,7times10^7 dólares.

Resposta

(a) Aproximadamente 1991 pessoas.
(b) Aproximadamente 3,56times10^6 pessoas.
(c) Aproximadamente 2,7times10^7 dólares.

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