A lei de Pareto para a distribuição de lucros de certo grupo é dada por:
N(x)=625 times 10^9x^3 / 2
(a) Quantas pessoas recebem lucros entre 2500 e 10000 u.m.?
(b) Qual é o menor lucro das 6 pessoas que recebem os maiores lucros?

Passo 1

O enunciado dá a lei de Pareto para o número de pessoas que recebem lucro maior ou igual a x (em u.m.), que é
N(x)=625times10^9x^3/2
Queremos (a) quantas pessoas recebem lucros entre 2500 e 10000 e (b) o menor lucro entre as 6 pessoas com maiores lucros. Para isso usamos que o número de pessoas com lucro em [a,b] é N(a)-N(b) e que o k-ésimo maior lucro x satisfaz N(x)=k.

Passo 2

Para (a), o número de pessoas com lucro entre 2500 e 10000 é
N(2500)-N(10000)

Passo 3

Calculemos N(2500). Primeiro
2500^3/2 = 2500cdotraiz2500 = 2500cdot50 = 125,000,
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N(2500) = 625times10^9125,000 = 625125times10^9-3 = 5times10^6

Passo 4

Agora N(10000). Temos
10000^3/2 = 10000cdotraiz10000 = 10000cdot100 = 1,000,000,
então
N(10000) = 625times10^91,000,000 = 625times10^9-6 = 625times10^3 = 625,000

Passo 5

Portanto, o número de pessoas com lucro entre 2500 e 10000 é
5,000,000 - 625,000 = 4,375,000

Passo 6

Para (b), o menor lucro das 6 pessoas que têm os maiores lucros é o valor de x tal que
N(x)=6
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625times10^9x^3/2 = 6 Longrightarrow x^3/2 = 625times10^96

Passo 7

Elevando ambos os lados à potência 2/3, obtemos
x = gl(625times10^96gr)^2/3 approx 2,21times10^7 um
(pequenas variações de arredondamento são aceitáveis).

Resposta

(a) 4,375,000 pessoas.
(b) Aproximadamente 2,21times10^7 u.m.

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