(UF-PR) Uma caixa de papel em forma de bloco retangular está sendo projetada de modo a ter altura e comprimento de mesma medida e largura 3 cm maior que seu comprimento. Quais as dimensões dessa caixa para que seu volume seja 200 cm^3 ?

Passo 1

O enunciado pede as dimensões de uma caixa retangular cuja altura e comprimento têm a mesma medida e cuja largura é 3,cm maior que esse comprimento. O volume deve ser 200,cm ^3. Vamos chamar de x o valor comum de altura e comprimento e expressar a largura em função de x.

Passo 2

Seja x o comprimento (em cm) e a altura (em cm). Então a largura vale x+3 (em cm). Como o volume de um paralelepípedo é o produto das três arestas, temos
Volume = x times x times (x+3) = x^2(x+3)
Queremos que esse volume seja 200,cm ^3, logo a equação é
x^2(x+3)=200

Passo 3

Expandindo a equação, obtemos
x^3 + 3x^2 - 200 = 0
Trata-se de um polinômio cúbico.

Passo 4

Para encontrar raízes reais, testamos divisores de 200. Vemos que x=5 satisfaz
5^3 + 3cdot5^2 - 200 = 125 + 75 - 200 = 0
Fazendo a divisão sintética ou fatorando, o polinômio se escreve
(x-5)(x^2+8x+40)=0
As raízes da equação quadrática x^2+8x+40=0 são complexas, pois o discriminante é negativo. Logo a única raiz real é x=5.

Passo 5

Como x=5,cm, altura e comprimento medem 5,cm cada, e a largura é
x+3 = 5+3 = 8 cm

Resposta

Altura = 5,cm, comprimento = 5,cm, largura = 8,cm.

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