(ITA-SP) Considere as afirmações:
I. Existe um triedro cujas 3 faces têm a mesma medida
.
II. Existe um ângulo poliédrico convexo cujas faces medem, respectivamente,
,
e
.
III. Um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais, tem 9 vértices.
IV. A soma das medidas de todas as faces de um poliedro convexo com 10 vértices é
.
Destas, é(são) correta(s) apenas:
a) II
c) II e IV
e) II, III e IV
b) IV
d) I, II e IV
I. Existe um triedro cujas 3 faces têm a mesma medida
II. Existe um ângulo poliédrico convexo cujas faces medem, respectivamente,
III. Um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais, tem 9 vértices.
IV. A soma das medidas de todas as faces de um poliedro convexo com 10 vértices é
a) II
c) II e IV
e) II, III e IV
b) IV
d) I, II e IV
Passo 1
O enunciado testa conceitos de geometria espacial:
- Para a afirmação I precisamos saber quando um triedro de faces planas existe, isto é, a soma de suas três arestas angulares (diedrais) deve ser estritamente menor que
. - Na II fala-se de um ângulo poliédrico convexo num vértice, cujo critério é que a soma das medidas dos ângulos das faces ao redor do vértice seja menor que
. - A III exige usar a relação entre faces, arestas e vértices de um poliedro convexo (fórmula de Euler) e a contagem de arestas a partir do total de lados das faces.
- A IV usa o fato de que a soma de todos os ângulos internos das faces de um poliedro convexo com
vértices vale .
Passo 2
Analisando I: se todas as três faces têm dihedral de
, a soma é
mas para existir um triedro convexo precisamos de soma estritamente menor que
. Logo, I é falsa.
Passo 3
Analisando II: o ângulo poliédrico convexo com cinco faces de medidas
existe se
Como a soma é menor que
, II é verdadeira.
Passo 4
Analisando III: temos
,
,
,
, total
faces. A soma dos lados é
então
e
. Pela fórmula de Euler
vem
Logo, não pode ter 9 vértices; III é falsa.
Passo 5
Analisando IV: para um poliedro convexo com
vértices a soma de todos os ângulos internos das faces é
Se
, isso dá
Portanto, IV é verdadeira.
Resposta
c) II e IV