(ITA-SP) Considere as afirmações:
I. Existe um triedro cujas 3 faces têm a mesma medida a=120^circ.
II. Existe um ângulo poliédrico convexo cujas faces medem, respectivamente, 30^circ, 45^circ, 50^circ, 50^circ e 170^circ.
III. Um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais, tem 9 vértices.
IV. A soma das medidas de todas as faces de um poliedro convexo com 10 vértices é 2880^circ.
Destas, é(são) correta(s) apenas:
a) II
c) II e IV
e) II, III e IV
b) IV
d) I, II e IV

Passo 1

O enunciado testa conceitos de geometria espacial:
  • Para a afirmação I precisamos saber quando um triedro de faces planas existe, isto é, a soma de suas três arestas angulares (diedrais) deve ser estritamente menor que 360^circ.
  • Na II fala-se de um ângulo poliédrico convexo num vértice, cujo critério é que a soma das medidas dos ângulos das faces ao redor do vértice seja menor que 360^circ.
  • A III exige usar a relação entre faces, arestas e vértices de um poliedro convexo (fórmula de Euler) e a contagem de arestas a partir do total de lados das faces.
  • A IV usa o fato de que a soma de todos os ângulos internos das faces de um poliedro convexo com V vértices vale 360^circ(V-2).

Passo 2

Analisando I: se todas as três faces têm dihedral de 120^circ, a soma é
120^circ+120^circ+120^circ=360^circ,
mas para existir um triedro convexo precisamos de soma estritamente menor que 360^circ. Logo, I é falsa.

Passo 3

Analisando II: o ângulo poliédrico convexo com cinco faces de medidas 30^circ,45^circ,50^circ,50^circ,170^circ existe se
30^circ+45^circ+50^circ+50^circ+170^circ=345^circ<360^circ
Como a soma é menor que 360^circ, II é verdadeira.

Passo 4

Analisando III: temos F3=3, F4=1, F5=1, F6=2, total F=7 faces. A soma dos lados é
3cdot3+4cdot1+5cdot1+6cdot2=30,
então 2E=30 e E=15. Pela fórmula de Euler V-E+F=2 vem
V=2+E-F=2+15-7=10
Logo, não pode ter 9 vértices; III é falsa.

Passo 5

Analisando IV: para um poliedro convexo com V vértices a soma de todos os ângulos internos das faces é
360^circ(V-2)
Se V=10, isso dá
360^circcdot(10-2)=360^circcdot8=2880^circ
Portanto, IV é verdadeira.

Resposta

c) II e IV

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