Como se calcula o limite de uma função racional quando x \rightarrow \pm \infty ? Exemplifique.

Passo 1

O enunciado pergunta como calcular o limite de uma função racional
f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}
quando x\to+\infty e x\to-\infty.
O conteúdo envolve comparar os graus de P e Q e usar divisão por potências de x.

Passo 2

Sejam \deg P=m e \deg Q=n. Há três casos clássicos:
  1. Se m<n, então
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=0.
  1. Se m=n, então
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)} =\frac{\text{coeficiente líder de }P}{\text{coeficiente líder de }Q}.íí
  1. Se m>n, o limite diverge para \pm\infty; o sinal final é determinado pelo sinal do coeficiente líder de P e pelo fator x^{\,m-n}.

Passo 3

Vamos exemplificar com
f(x)=\frac{2x^3-5x+1}{x^2+3}.
Aqui \deg P=3 e \deg Q=2, então estamos no caso m>n.

Passo 4

Dividindo numerador e denominador por x^2, obtemos
f(x) =\frac{x^2\bigl(2x - \tfrac{5}{x} + \tfrac{1}{x^2}\bigr)}% {x^2\bigl(1 + \tfrac{3}{x^2}\bigr)} =\frac{2x - 5/x + 1/x^2}{1 + 3/x^2}.
Para x\to+\infty, os termos \tfrac{5}{x} e \tfrac{1}{x^2} tendem a zero, ficando
f(x)\approx\frac{2x}{1}\quad\Longrightarrow\quad\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

Passo 5

Para x\to-\infty, a mesma simplificação mostra
f(x)\approx\frac{2x}{1},
mas como x é muito negativo, temos
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.

Resposta

\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-5x+1}{x^2+3}=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{2x^3-5x+1}{x^2+3}=-\infty.

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