Qual é o valor de \lim _{\theta \rightarrow 0}((\operatorname{sen} \theta) / \theta) ? Faz diferença ser medido em graus ou radianos? Explique.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{\theta\to0}\frac{\sin\theta}{\theta}
e discutir se o resultado depende de estarmos medindo \theta em graus ou em radianos. O conteúdo principal aqui é o cálculo de limites envolvendo funções trigonométricas e a importância das unidades de medida de ângulo.

Passo 2

Vamos primeiro supor que \theta está em radianos. Uma demonstração clássica usa a desigualdade no círculo unitário:
\cos\theta \;\le\;\frac{\sin\theta}{\theta}\;\le\;1,
válida para \theta>0 pequeno. Como
\lim_{\theta\to0}\cos\theta=1 \quad\text{e}\quad \lim_{\theta\to0}1=1,
pelo teorema do confronto (squeeze theorem) segue
\lim_{\theta\to0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1.

Passo 3

Agora suponha que \theta está em graus. Para converter para radianos, escrevemos
\theta_{\text{rad}}=\frac{\pi}{180}\,\theta_{\text{deg}}.
Então
\frac{\sin(\theta_{\text{deg}})}{\theta_{\text{deg}}} =\frac{\sin\bigl(\frac{\pi}{180}\theta\bigr)}{\theta} =\frac{\sin\bigl(\frac{\pi}{180}\theta\bigr)}{\frac{\pi}{180}\theta}\;\frac{\pi}{180} \;\xrightarrow[\theta\to0]{}\;1\cdot\frac{\pi}{180} =\frac{\pi}{180}.

Passo 4

Concluímos que
– se \theta estiver em radianos,
\lim_{\theta\to0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1,
– se \theta estiver em graus,
\lim_{\theta\to0}\frac{\sin\theta}{\theta}=\frac{\pi}{180}\approx0,01745.
Isso mostra que o valor do limite só é igual a 1 quando usamos radianos. As séries de Taylor de \sin x e a definição de derivada de \sin x também só dão resultado direto 1 para ângulos em radianos.

Resposta

Em radianos o limite vale 1. Em graus vale \pi/180\approx0,01745. Portanto, faz diferença usar graus ou radianos.

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