Qual é o valor de \lim _{\theta \rightarrow 0}((\operatorname{sen} \theta) / \theta) ? Faz diferença ser medido em graus ou radianos? Explique.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
\lim_{\theta\to0}\frac{\sin\theta}{\theta}
e discutir se o resultado depende de estarmos medindo \theta em graus ou em radianos. O conteúdo principal aqui é o cálculo de limites envolvendo funções trigonométricas e a importância das unidades de medida de ângulo.
Passo 2
Vamos primeiro supor que \theta está em radianos. Uma demonstração clássica usa a desigualdade no círculo unitário:
Isso mostra que o valor do limite só é igual a 1 quando usamos radianos. As séries de Taylor de \sin x e a definição de derivada de \sin x também só dão resultado direto 1 para ângulos em radianos.
Resposta
Em radianos o limite vale 1. Em graus vale \pi/180\approx0,01745. Portanto, faz diferença usar graus ou radianos.
Cálculo - Angela dos Santos e Waldecir Bianchini - Aprendendo Cálculo com Maple-Cálculo de Uma Variável - 1ª Edição - Capítulo 1.Questões de Revisão - Ex. 8