Se sua calculadora não dispõe de uma tecla específica para a determinação de raízes quadradas, não se desespere. Existe um algoritmo muito simples (denominado método de Newton) para a obtenção aproximada da raiz de um número real positivo a. O algoritmo é composto dos seguintes passos:
  1. defina uma estimativa inicial, x0, para a raiz. Qualquer número maior que zero serve, de modo que você pode usar x0=1, por exemplo.
  2. de posse de uma estimativa xk (você já tem x0 ), calcule outro valor aproximado xk+1 usando a fórmula
xk+1=xk^2+a2 xk
  1. repita o passo 2 até que duas estimativas sucessivas, xk e xk+1, sejam muito parecidas.
    Aplique esse método para calcular raiz2 e verifique quantas vezes você teve que repetir o passo 2 .

Passo 1

O enunciado pede para usar o método de Newton para aproximar raiza com a=2. A cada iteração, partimos de uma estimativa xk e calculamos
xk+1 = xk^2 + a2,xk
Começamos com x0=1 e repetimos até que xk+1 e xk fiquem muito próximos.

Passo 2

Definimos como critério de parada que a diferença absoluta entre duas estimativas sucessivas seja menor que
varepsilon = 10^-4,
isto é, paramos quando
l|xk+1 - xkr| < varepsilon

Passo 3

Aplicando a fórmula para x0=1:
x1 = 1^2 + 22cdot1 = 32 = 1,5,
x2 = 1,5^2 + 22cdot1,5 = 2,25 + 23 = 4,253 approx 1,4167

Passo 4

Continuando as iterações:
x3 = 1,4167^2 + 22cdot1,4167 approx 1,4142157,
x4 = 1,4142157^2 + 22cdot1,4142157 approx 1,41421356

Passo 5

Calculamos as diferenças:
|x2 - x1|approx0,0833, |x3 - x2|approx0,0025, |x4 - x3|approx2,1times10^-6
A primeira vez que |xk+1-xk|<10^-4 ocorre entre x3 e x4. Logo, repetimos o passo 2 quatro vezes (para obter x1,x2,x3,x4).

Resposta

Foram necessárias 4 repetições do passo 2 para que duas estimativas sucessivas diferissem menos que 10^-4.

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