Calcular o momento de inércia em tồno do eixo cos x do contôrno do retângulo a <=q x <=q b, alpha <=q y <=q beta.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia do fio que percorre o contorno do retângulo
a <=q x <=q b, alpha <=q y <=q beta
em torno do eixo x.
Como é um fio de densidade linear constante rho, usamos a definição
I = integral r^2,dm = rhointegral y^2,ds,
onde y é a distância de cada ponto do fio ao eixo x e ds é o diferencial de comprimento ao longo do contorno.

Passo 2

Analisamos as duas arestas horizontais:
– Aresta inferior: y=alpha, x vai de a a b, comprimento b-a.
Contribuição
Iinf = rhointegrala^balpha^2,dx = rho,(b-a),alpha^2
– Aresta superior: y=beta, x vai de a a b, comprimento b-a.
Contribuição
Isup = rhointegrala^bbeta^2,dx = rho,(b-a),beta^2

Passo 3

Agora as duas arestas verticais:
– Aresta em x=a: y vai de alpha a beta, ds=dy.
Contribuição
Ia = rhointegralalpha^betay^2,dy = rho,beta^3-alpha^33
– Aresta em x=b: mesma integral pois só muda x.
Contribuição
Ib = rhointegralalpha^betay^2,dy = rho,beta^3-alpha^33

Passo 4

Somando todas as contribuições:
I = Iinf + Isup + Ia + Ib = rhol[(b-a)alpha^2 + (b-a)beta^2 + 2cdotbeta^3-alpha^33r]
Agrupando,
I = rhol[(b-a)(alpha^2+beta^2) + tfrac23(beta^3-alpha^3)r]

Resposta

I = rhol[(b-a)(alpha^2+beta^2) + tfrac23(beta^3-alpha^3)r]

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