Seja x=x(t), y=y(t) uma curva fechada. Mede-se um comprimento constante p sôlbre a normal ù curva. A extremidade dêste segmento descreve uma curva denominada curva paralela à original. Achar a área, o comprimento do arro e o raio de curvatura da curva paralela.

Passo 1

O enunciado considera uma curva fechada dada por
r(t) = l(x(t),y(t)r), tin[a,b],
com comprimento total
L=integrala^braizx'(t)^2+y'(t)^2,dt
e área interna A. A curva paralela a uma distância constante p no sentido da normal unitária é
rp(t)= r(t)+p, N(t),
onde N é o versor normal. Precisamos achar o comprimento Lp, a área interna Ap e o raio de curvatura Rp da curva paralela em função de L, A, p e das quantidades geométricas da curva original.

Passo 2

Definimos o elemento de comprimento da curva original
ds=raizx'(t)^2+y'(t)^2,dt,
o versor tangente
T= r'| r'|,
e o versor normal (girando T em 90circ no plano)
N=( -,y'/| r'|,;x'/| r'| )
A curvatura kappa verifica
d Tds=kappa, N,
e o raio de curvatura é R=1/kappa.

Passo 3

Para o comprimento da curva paralela calculamos
d rpds =ddsl( r+p Nr) = T+p,d Nds = T-p,kappa, T =(1-p,kappa), T
Tomando a norma e integrando sobre toda a curva fechada, usando integralrm curvakappa,ds=2pi, obtemos
Lp=integral(1-p,kappa),ds =L-pintegralkappa,ds =L-2pi p
Se escolhermos N apontando para fora do laço, o sinal inverte e fica
boxedLp=L+2pi p

Passo 4

Para a área interna Ap da curva paralela vale a fórmula de Steiner (ou aplicação do Teorema de Green):
boxedAp=A+p,L+pi p^2
A demonstração habitual parte de
A=12oint(x,dy-y,dx)
e substitui xp=x+pNx,;yp=y+pNy, levando aos termos A, pL e pi p^2.

Passo 5

A curvatura kappap da curva paralela relaciona-se com a original por
kappap=kappa1pm p,kappa,
onde o sinal “ +” corresponde a deslocamento para fora. Logo o raio de curvatura é
Rp=1kappap=Rpm p
Para a escolha usual de normal para fora, fica
boxedRp=R+p

Resposta

Área da curva paralela:
Ap = A + p,L + pi p^2
Comprimento do arco da curva paralela:
Lp = L + 2pi p
Raio de curvatura da curva paralela em cada ponto:
Rp = R + p

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