Seja
uma curva fechada. Mede-se um comprimento constante
sôlbre a normal ù curva. A extremidade dêste segmento descreve uma curva denominada curva paralela à original. Achar a área, o comprimento do arro e o raio de curvatura da curva paralela.
Passo 1
O enunciado considera uma curva fechada dada por
com comprimento total
e área interna
. A curva paralela a uma distância constante
no sentido da normal unitária é
onde
é o versor normal. Precisamos achar o comprimento
, a área interna
e o raio de curvatura
da curva paralela em função de
,
,
e das quantidades geométricas da curva original.
Passo 2
Definimos o elemento de comprimento da curva original
o versor tangente
e o versor normal (girando
em
no plano)
A curvatura
verifica
e o raio de curvatura é
.
Passo 3
Para o comprimento da curva paralela calculamos
Tomando a norma e integrando sobre toda a curva fechada, usando
, obtemos
Se escolhermos
apontando para fora do laço, o sinal inverte e fica
Passo 4
Para a área interna
da curva paralela vale a fórmula de Steiner (ou aplicação do Teorema de Green):
A demonstração habitual parte de
e substitui
, levando aos termos
,
e
.
Passo 5
A curvatura
da curva paralela relaciona-se com a original por
onde o sinal “
” corresponde a deslocamento para fora. Logo o raio de curvatura é
Para a escolha usual de normal para fora, fica
Resposta
Área da curva paralela:
Comprimento do arco da curva paralela:
Raio de curvatura da curva paralela em cada ponto: