Calcular a área de um setor da espiral de Arquimedes r=a theta,(a>0).

Passo 1

O enunciado pede a área de um setor da espiral de Arquimedes definida em coordenadas polares por r=atheta (com a>0), entre os ângulos theta=theta1 e theta=theta2. Vamos usar a fórmula de área em coordenadas polares.

Passo 2

A fórmula geral de área de uma região limitada pelos raios de ângulo theta1 a theta2 é
A = 12 integraltheta1^theta2 r^2 , dtheta

Passo 3

No nosso caso r=atheta, então
r^2 = a^2 theta^2
Substituindo na fórmula de área, obtemos
A = 12 integraltheta1^theta2 a^2 theta^2 , dtheta = a^22 integraltheta1^theta2 theta^2 , dtheta

Passo 4

Calculamos a integral de theta^2:
integral theta^2 , dtheta = theta^33
Logo,
A = a^22,l[tfractheta^33r]theta1^theta2 = a^26l(theta2^3 - theta1^3r)

Resposta

A área do setor da espiral de Arquimedes entre theta1 e theta2 é
A = a^26l(theta2^3 - theta1^3r)
Em particular, para o setor do eixo polar ( theta1=0) até theta, tem-se
A = a^2,theta^36,

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